谐振子的振动

振动是粒子运动的另一种形式，谐振子（harmonic oscillator)的振动，也是最简单的理想振动模型。本节将把定态薛定谔方程应用于一维谐振子和三维谐振子系统，求解得到其波函数和能量。

1.一维谐振子的振动

(1)薛定谔方程

两个相同的弹簧将质量为m的小球固定在两壁之间(图5-１０）。外力使球体沿x轴方向发生一位移，则弹簧就产生一与位移方向相反的恢复力。若发生位移后旋即失去外力，则球体因受恢复力F的作用而沿x轴在O点两侧作往复振动，系统的运动严格遵守虎克定律时，恢复力F＝－kx。可见F的大小与位移成正比，但方向相反。比例系数k叫力系数，其含义是单位长度位移的恢复力，它是弹簧强度的量度。这一振动系统称为一维谐振子(monoharmonic oscillator)。

谐振子的运动称为谐振动(harmonic vibration)，其振动频率可表达成

(5-３３）

作谐振动的球的总能量，在任一时刻都等于动能与势能之和。因为势能V(x)对坐标的一阶导数的负值等于力F，即 ，积分此式，得到

（5-３４）

球体的动能算符是。所以，谐振子的薛定谔方程为

（5-３５）

(2)能量

方程式(5-３５）可严格求解，所得本征值为

, v＝０,１,２,３,…（5-３６）

其中ν是谐振子的自然频率，v是振动量子数。当v＝０时，，是量子力学谐振子的最低能量，称作振动零点能(vibration zero point energy)。这一结果不同于经典力学谐振子的最低能量(最低能量是零)。量子力学结果是符合实际的。E_v总是正值，相邻能级之差都是hν。

(3)波函数

一些能量和相应的波函数ψv(x)列于表5-１。

(4)波函数图像

图5-１１示明了能级和波函数图像。显然，由基态(v＝０）向上波函数的峰数逐渐增加。每个状态有v＋１个峰，节点数为v个,图中抛物线代表严格遵守虎克定律的势能函数。

3.三维谐振子的振动

如果一个质量为m的粒子在三维空间作谐振动，其动能算符为 ,势能为 ,这样得到的三维谐振子的薛定谔方程， ,按分离变量法，也能分解为三个形式相同的单变量振动方程。例如，与变量x有关的方程与式(5-３５）一样，分别求解这三个方程，最后得到三维谐振子的能量和波函数为

（5-３７）

式中量子数v_xv_yv_z各自独立取值，取值方式和一维谐振量子数v一样k_x，k_y，k_z是与三个坐标方向有关的力系数。ν_x、ν_y、ν_z是相应于每个方向的振动频率。Ｘ（x），Y（y），Ｚ（z）是形式相同的单变量振动波函数，见表5-１。例如，当v_x＝v_y＝v_z＝０时， ， ， ,所以三维谐振子的基态波函数是

（5-３８）

http://210.41.4.20/course/28/%CE%EF%C0%ED%BB%AF%D1%A7%CB%D8%B2%C4%BF%E2/%B5%DA%CE%E5%D5%C2%20%C1%BF%D7%D3%C1%A6%D1%A7%BB%F9%B4%A1/%B5%A5%D4%AA%A2%F2%20%C1%BF%D7%D3%C1%A6%D1%A7%B6%D4%C1%A3%D7%D3%C6%BD%B6%AF%A1%A2%D7%AA%B6%AF%A1%A2%D5%F1%B6%AF%B5%C4%D3%A6%D3%C3/5.7%D0%B3%D5%F1%D7%D3%B5%C4%D5%F1%B6%AF/5.7.doc