“12个球”问题的几种解法

　　这个题有很多种解法。我们只将第一种解法做较详细的解释。

第一种解法

　　将12个球分为 3 组，每组 4 个，设为：

①②③④　　⑤⑥⑦⑧　　⑼⑽⑾⑿

以下我们用“uvw——xyz”表示在天平一侧放uvw，另一侧放xyz。

第一次用天平：①②③④——⑤⑥⑦⑧ 。分两种情况讨论。

A.  两侧一样重。（不正常球在⑼⑽⑾⑿中。）

　　第二次用天平：　⑼⑽——⑾①

　　有 3 种情况：

　　A1：两侧一样重。（⑿不正常。）

　　　　第三次用天平：⑼——⑿，可知⑿是重于还是轻于正常球。

　　A2:：⑼⑽一侧重。

　　　　第三次用天平：⑼——⑽。如果两球一样重，⑾比正常球轻。如果

　　　　不一样重，重的不正常。

　　A3：⑼⑽一侧轻。

　　　　第三次用天平：⑼——⑽．如果两球一样重，⑾比正常球重。如果

　　　　不一样重，轻的不正常。

B：两侧重量不同。设①②③④一侧重。（相反情况类似）

　　第二次用天平：　①②⑥——③④⑤

　　有 3 种情况：

　　B1：两侧一样重。（由 B 知：⑦或⑧比正常球轻。）

　　　　第三次用天平：⑦——⑧。轻的不正常。

　　B2：①②⑥一侧重。（由 B 知：或者①②之一重或者⑤轻。）

　　　　第三次用天平：①——②。如果两球一样重，⑤比正常球轻；如果

　　　　不一样重，重的不正常。

　　B3：①②⑥一侧轻。（由 B 知：或者③④之一重或者⑥轻。）

　　　　第三次用天平：③——④．如果两球一样重，⑥比正常球轻；如果

　　　　不一样重，重的不正常。

第二种解法

　　第一部分与前一种解法相同。

B：两侧重量不同。设①②③④一侧重。（相反情况类似）

　　第二次用天平：　①②⑥——③⑤⑼

　　有 3 种情况：

　　B1：两侧一样重。（由 B 知：或者④重或者⑦⑧之一轻。）

　　　　第三次用天平：⑦——⑧。如果两球一样重，④比正常球重；如果

　　　　不一样重，轻的不正常。

　　B2：①②⑥一侧重。（由 B 知：或者①②之一重或者⑤轻。）

　　　　第三次用天平：①——②。如果两球一样重，⑤比正常球轻；如果

　　　　不一样重，重的不正常。

　　B3：①②⑥一侧轻。（由 B 知：或者③重或者⑥轻。）

　　　　第三次用天平：①——③．如果两球一样重，⑥比正常球轻；如果

　　　　不一样重，③比正常球重。

　　以上两种解法之一来自我的朋友 Andrew Choo，但我记不清是哪一个。这两种解法的共同点有二，都在第二次用天平时的计策：一是在情况 A 中天平上的球数是 2 比 2，在情况 B 中是 3 比 3（其他类似解法用球更多），二是（最多）只加入一个已知的正常球帮助判断（其他类似解法求助于更多的正常球）。

其他解法

　　“12个球”问题的解法不少。有时在逻辑课上留这道课外题，也见到在那之前未见的解法。我不知到底有多少种解法，也记不住见过的所有解法，就到网上搜索了一下。提供解法的网页很多，我浏览过的多数在解法上差不多（其中不少连文字也相同），都是在第二次用天平时，运用与上述解法不同的一个计策：在情况 A 中天平上的球数是 3 比 3，在情况 B 中是 4 比 4，而且都用 3 个已知正常的球帮助判断。出示此种解法的网页很多，以下链接通向其中的几个，供读者参考：

http://blog.sina.com.cn/u/4bb485b9010008d1

http://blog.sina.com.cn/u/4c1e7761010007xu

http://blog.sina.com.cn/u/4aec4227010008vu

网上能见到的解法中，有的和这里给出的解法（之一）相同，如

http://blog.sina.com.cn/u/3fda11740100075x

有些是上述几种解法的混合，如

http://blog.sina.com.cn/u/4c5ef1a4010008pe

或和还有些解法出于完全不同的思路，如

http://blog.sina.com.cn/u/4aec4227010008vu

http://blog.sina.com.cn/u/3fda11740100075x

当然，网上的某些“解法”是错的。