加载中…测度论基础
(2009-09-02 16:10:01)
标签：
杂谈 |
分类： 缠论自相似和数学分析 |
所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。 我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度； 平面上一个闭圆盘 的测度就是它的面积。
对于更一般的集合，我们能不能定义测度呢？ 比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？
一个简单的办法， 就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集（就是可以排像自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论），所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的2^n分之一。 这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。
现在我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。 这样我们就说有理数集的测度是0。 用上面这种方法定义的测度也叫外测度。
一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分。
比如实数上的狄利克雷函数D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。 如果按照通常的理解，我们发现狄利克雷函数在整个数轴上的定积分不存在；但是按照上面讲的有理数的测度，我们就可以求出它的定积分是0。
实直线上的测度如下给出：
设E是实数集，考虑可数个区间(aj,bj)满足对任何x∈E,都有某个j,使得x∈(aj,bj);考虑所有情形下和(b1-a1)+(b2-a2)+..的下确界称为E的外测度
如果对任何集合F都有E∩F和F\E的外测度之和等于F的外测度，称E可测，定义其测度等于外测度
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Measure_illustration.png/180px-Measure_illustration.png
集函数：设Ψ是上的非空集合类。若对于每个一个A∈Ψ,都有一个实数或者±∞之一与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为φ(A)，且至少有一个A∈Ψ,使得φ(A)取有限值，称φ(A)为定义在Ψ上的集函数。
(1)若对任意的正整数n以及任意的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=Ø(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…An)∈Ψ，有
φ(A1∪A2∪…Ai∪…An)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(An)]，
则称φ在Ψ上具有有限可加性，也称φ是Ψ上的有限可加集函数。
(2)若对可列集的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=Ø(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)∈Ψ，有
φ(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(A∞)]，
则称φ在Ψ上具有完全可加性或者б-可加性，也称φ是Ψ上的б-可加集函数或者广义测度。
(3)若对每一个A∈Ψ，φ(A)都取有限值，则称φ为上的有限集函数。如果对每一个A∈Ψ，存在一个集合序列⊂Ψ，使得
A⊂(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)，φ(An)<+∞，n=1，2，……
则称φ是Ψ上的б-有限集函数。
(4)若集函数为有限可加且只取非负值则称为有限可加测度。若集函数为б-可加，且只取非负值，则称为测度，用μ或ν表示。具有性质Ω∈Ψ且ν(Ω)=1的测度，称为概率测度或者简称概率，一般用P表示。
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此外，测度还可以取值于任何线性空间（通常带有一定拓扑，比如Banach空间），只要满足相应的可数可加性。在Hilbert空间算子理论中还有所谓谱测度的概念，其中测度的取值为一固定Hilbert空间中投影算子的全体，且满足（在强意义下）的可数可加性。
如果测度空间X是拓扑空间而所考虑的б代数（或者б环，后者按照Halmos《Measure Theory》）由全体紧集生成（这定义不是标准的；有的书上说是由全体开集生成），且测度在每个紧集上取有限值，则称为Borel测度。如果Borel测度限制在所有能写成可数个开集的交的紧集生成的б环上，则称为Baire测度。如果任何可测集E满足
μ(E)=sup{μ(K): K含于E,K紧}=inf{μ(O):O包含E,O开}
则称μ为正则测度。
Riesz-Markov表示定理：设X为局部紧T2空间，则对Cc(X)（即X上有紧支集的连续函数全体）上任何正线性泛函φ，存在正则Borel测度μ使得对任何f，φ(f)等于f关于μ的积分。
定义
形式上说，一个测度http://upload.wikimedia.org/math/3/1/5/315e0047ccbfa87354192dac2fe986fb.png中取值，并且满足以下性质：
- 空集的测度为零：
这样的三元组http://upload.wikimedia.org/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png中的元素称为这个空间中的可测集。
性质
下面的一些性质可从测度的定义导出：
单调性
测度http://upload.wikimedia.org/math/e/e/f/eefd5d1da2c8a92c0ce03a0b7993d1ef.png的单调性： 若http://upload.wikimedia.org/math/b/e/b/beb62a161c969abaec0ad687c85a5ec1.png，则 http://upload.wikimedia.org/math/1/f/0/1f0d4416c48e83fec8608323dd45e9fb.png 。
可数个可测集的并集的测度
若 http://upload.wikimedia.org/math/2/9/4/2949a6cef158893840d09bb7d4d431bf.png 为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的http://upload.wikimedia.org/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：
以及如下极限：
可数个可测集的交集的测度
若 http://upload.wikimedia.org/math/3/e/9/3e94e530292057f88251a6d6a1ccd83e.png 为可测集，并且对于所有的http://upload.wikimedia.org/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png的测度有限，则有极限：
如若不假设至少一个http://upload.wikimedia.org/math/2/e/2/2e259ed38824a8713d454b6f5bad6bde.png，令
这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
σ有限测度
详见σ有限测度
如果http://upload.wikimedia.org/math/f/b/6/fb6b20dfdc28097525ae99b3bd2c8a23.png可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。
作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k 取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为http://upload.wikimedia.org/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png。这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。
完备性
一个可测集http://upload.wikimedia.org/math/9/7/2/9723dda01c2e1f2a415ced7e436b2fe9.png。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑http://upload.wikimedia.org/math/0/2/1/0218e94edabc628923c78014ea5e3aa0.png。
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