加载中…三角形和正方形组合题--几何题
(2018-03-08 11:12:14)
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2011第12届中环杯初二数学 |
分类： 数学杯赛 |
2011年第十二届中环杯初二数学选拔赛中
填空题第5题，看起来是很简单的一道几何计算题。实际上可以推广出很多好玩的几何证明题。
1. 已知：在△ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点。
且AB=2，AC=1，EF= 8/3，
（1）. 求AM的长；（2011第十二届中环杯初二选拨赛填空题第5题）
（2）. 若记两个正方形的中心点为H、J，请证明∆MHJ为等腰直角三角形。
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且AB=2，AC=1，EF= 8/3，
（1）. 求AM的长；（2011第十二届中环杯初二选拨赛填空题第5题）
（2）. 若记两个正方形的中心点为H、J，请证明∆MHJ为等腰直角三角形。
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解答：第（1）小题，比较简单，因为AM是三角形ABC的中线，利用常规的倍长中线法。
延长AM至A', 使得AM=MA', 参见图1
http://s6/small/4c7cc7fdgb6af4dda01c5&690
首先证明：△AMC与△A'MB全等（SAS）
于是 A'B=AC=AF
角A'BC=角ACB, 所以A’B//AC (内错角相等)
所以 角A'BA+角BAC = 180°，
而 角FAE+角BAC = 180°
所以 角A'BA=角FAE
又 AB=AE
所以 △ABA'与△AEF全等（SAS）
从而得到：AA'=EF,
AM=EF/2=4/3
可见 题目给定的正方形边长是多余的条件，只要给定EF就可以了。
http://s6/small/4c7cc7fdgb6af4dda01c5&690
首先证明：△AMC与△A'MB全等（SAS）
于是 A'B=AC=AF
角A'BC=角ACB, 所以A’B//AC (内错角相等)
所以 角A'BA+角BAC = 180°，
而 角FAE+角BAC = 180°
所以 角A'BA=角FAE
又 AB=AE
所以 △ABA'与△AEF全等（SAS）
可见 题目给定的正方形边长是多余的条件，只要给定EF就可以了。
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第（2）小题 就需要添加辅助线。
连接CE、BF，参见图2
http://s14/small/4c7cc7fdgb6af53e3073d&690
不难证明△ACE与△AFB全等（SAS：AE=AB，角EAC=角BAF=90°+角BAC，AC=AF）
故CE=BF，角ABF=角AEC。
设CE与BF相交于K，则角EKB=180°-角EBK-角BEK=180°-（45°+角ABF）-（45°-角AEC）
所以 角EKB=90°，即CE垂直于BF。
最后由三角形中位线性质定理得到：
MH=MJ=EC/2=BF/2,
MH垂直于MJ
连接CE、BF，参见图2
http://s14/small/4c7cc7fdgb6af53e3073d&690
不难证明△ACE与△AFB全等（SAS：AE=AB，角EAC=角BAF=90°+角BAC，AC=AF）
故CE=BF，角ABF=角AEC。
设CE与BF相交于K，则角EKB=180°-角EBK-角BEK=180°-（45°+角ABF）-（45°-角AEC）
所以 角EKB=90°，即CE垂直于BF。
最后由三角形中位线性质定理得到：
故△MHJ是等腰直角三角形。
证毕
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2.三角形ABC，以AB和AC为边，分别向三角形ABC外作正方形ABED和ACFG，
连接DG，H为DG的中点。
求证：HA⊥BC
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