本文是在学习了初等数论之后写的一篇论文，现在贴出来和大家一同共享。

                         初等数论与中学教学

    摘要：文章科学地描述了初等数论的学与教及其两者之间的关系。初等数论的学与教主要指的是高等院校（尤指师范院校）为学生的培养开设的课程，它能够培养学生扎实的数学基础知识及数论特有的思想方法。一方面有利于学生进一步探索数论的未知领域做准备；另一方面有利于将要从事中学数学教学的教师更好地把握初等数论的教学。文章侧重于后者的论述。随着中学课程改革的逐步深入，数学知识的学习发生了相应地变化。在《普通高中·数学课程标准》中，初等数论初步是作为选修课程系列4的一个专题，自然地要符合该专题内容确定的原则：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一不学习、获得较高数学素养奠定基础。教师在该原则的指导下，要有机地将初等数论的学与教结合起来，通过教师和学生的学习，掌握数论的基础知识和思想方法，进一步养成科学的人生观、价值观。

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一、初等数论概况

    数论是一门古老而基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对于现代数学的发展起到了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。

    初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课程，所以高等院校的本科生在可能的情况下学习数论知识是有益的，一方面通过这些内容加深对数的性质的了解，更深入地理解某些其他邻近学科；另一方面也许更重要的是可以加深他们的数学训练，这些训练在很多方面是有益的。同时，学习一些数论的发展史也是很有好处的，尤其是中国古代和近代对数论领域的贡献。

二、初等数论的基本内容和思想方法

    初等数论大体上包括两个方面的内容，一个是整除理论，另一个是同余理论。整除理论是初等数论的基础，它是在带余除法的基础上建立起来的，整除理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论。同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法。从历史来看，求解不定方程是推进数论发展的最重要的课题，它是建立在整除理论和同余理论上来进行求解的。

    从某种程度上可以说，初等数论是数学中“理论与实践”相结合得最完美的基础课程，近代数学中许多重要思想、概念、方法与技巧都是从整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。在深入研究数论过程中，要仔细体会构造性和技巧性的证明思想。

三、中学初等数论初步教学的概况

    在中学数学学习过程中，初等数论的知识和思想方法是常见的。教师在日常教学中要给予足够的重视。随着新课程改革的逐步深入，初等数论知识和思想方法，一方面出现在日常教学中，另一方面是以竞赛的形式出现的，后者更为突出。

    对于前者《课标》是这样要求的，该专题是为对数学有兴趣和希望进一不提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想方法，有助于学生进一不打好数学基础，提高应用意识，有助于学生终身的发展，有助于扩展学生的数学视野，有助于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。

    对于后者，初等数论在奥林匹克竞赛中占有愈来愈重要的地位，对提高中学生的数学素养很有帮助。致力于数学竞赛的教师而言，必须明确数论的基本结构，它包括整除理论，同余理论和不定方程。整数集对于加法、减法、乘法运算是封闭的，但对于除法是不封闭的，因而研究整数之间的除法成了数论中的重要部分。同余是初等数论中的一门语言，同余概念的出发点：考虑它们除以某个不小于2的正整数所得的余数，依据余数的不同将所有的整数分类。

    值得注意的是，在数学竞赛中，教师主要强调数论知识的技巧，而在日常教学中要注意数论思想方法的教学。

四、初等数论初步教学的方法和建议

   《普通高中·数学课程标准》师教学的总体要求是：力求深入浅出，通俗易懂，进一步提高学生分析和解决问题的能力，让学生掌握和体会一些重要的概念、结论和思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。

    教学内容的总体要求：本专题学生通过具体的问题的学习有关整数和整除的知识，探索用展转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。

结合上述目标和内容总体要求，给出以下几点具体的教学建议：

    1、由于整数的整除式是学生在操作上比较熟悉，而在理论上比较生疏的内容，教师可以只讲一些主要的方法和性质，其他的一些性质则由学生经过讨论或自主探索完成。

    2、孙子定理由特解而后求通解的想法和建立Lagrange插值公式是一样的，因此列入建立插值公式一节有助于学生加强注意有关内容联系的意识。

    3、剩余类环中会出现零因子，对于开阔学生关于运算的眼界是有益的，但是理解可能难一点，是否安排探索，教师可以酌情处理。

    4、多项式整除的方法和性质与整数的整除性质几乎完全平行，可以安排学生进行探索。多项式的竖式除法是一个实行多项式除法的有效方式，与整数的竖式除法类似，可以作为附录列出。

    5、介绍数论领域的名人进行教学。

   教学的目的是培养学生对数论的兴趣，树立正确的人生观、价值观。例如：介绍费马大定理的证明着安德鲁。怀尔斯，从科学的态度对待学习。此类例子还有许多，教师要适当适时介绍给学生。

    6、根据所学内容特点和理论知识，对于例子进行探索学习。

例如：（星期的计算）来认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算的异同（会出现零因子）。

探索学习的步骤：问题—假设—结论—验证—证明。

     a、看一下日历就能知道今天是星期几，但是如果问你“中华人民共和国成立的日子”—1949年10月1日是星期几，你的出生日期是1985年2月4日，是星期几呢，等等，你就说不出来了。

     b、假设：给日期，D=第“N”年“m”月“d”日；用数字代表星期：星期日=0，星期一=1，星期二=2，星期三=3，星期四=4，星期五=5，星期六=6；W(D)表示日期D的星期数。

     c、结论：根据所学的理论知识，可求得：W(D)≡d+[(13m-1)/5]+y+[y/4]+[c/4]-2c(mod7),其中c,y由下式确定：N=100c+y,0≤y<100.

     d、 验证：1991年7月2日，是星期一。这一日期应写为：D=第“1991”年“7”月“2”日。所以C=19,y=91,m=7,d=2.

当公式得：W(D)≡2+[90/5]+91+[91/4]-38≡2+18+91+22+4-38≡1(mod7).

即由公式也算出是星期一。

      e、证明：证明的途径是这样的：先求出第“N”年的“1”月“1”日的星期数，然后求第“N”年“m”“1”日的星期数，最后求第“N”年月日的星期数。证明的具体过程略，有兴趣的读者请参考[2]。这种探索学习有利于贯彻新课程的基本理念，倡导积极主动，勇于探索的学习方式，发展学生的数学应用意识。教师应根据学生的能力来进行教学，还有许多其他的实际例子来训练学生的思维和数学素质。

7．将数论知识和思想方法与其他知识的学习联系起来。

例如：勾股定理与费马大定理 ，当n ≥3 时，没有正整数解。

进行对比来教学，更有利于学生拓展眼界，增加学习的兴趣。还有一些数论的知识可以与其他知识联系起来学习，需要教师去发现。

五、结束语

    教师要充分把握好初等数论的学与教之间的关系，抓住主要内容、基本思想、分清重点和难点进行教学，让学生体验到学习的快乐。

 参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定   普通高中·数学课程标准（实验）  北京：人民教育出版社  2003

[2]闵嗣鹤严士健编    初等数论（第三版）  北京：高等教育出版社  1957

[3]潘子洞 潘承彪著  初等数论（第二版）  北京：北京大学出版社   1992

[4]熊斌 刘诗雄 主编  高中竞赛数学（第一卷下册） 武汉：武汉大学出版社  1993