期权价值评估笔记

（二）期权的到期日价值（执行净收入）和净损益

1.看涨期权

2.看跌期权

看涨、看跌期权总结

（1）多头和空头彼此是零和博弈：即“空头期权到期日价值=-多头期权到期日价值”；“空头期权净损益=-多头期权净损益”

（2）多头是期权的购买者，其净损失有限（最大值为期权价格）；空头是期权的出售者，收取期权费，成为或有负债的持有人，负债的金额不确定。

一、金融期权的价值因素

（一）期权的内在价值和时间溢价

期权价值=内在价值+时间溢价

。内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。∣S₀-X∣

总结

二、金融期权价值的评估方法

（一）期权估价原理

1.复制原理（构造借款买股票的投资组合，作为期权等价物）

u＝1＋上升百分比＝
d＝1－下降百分比＝

 

　　复制原理计算期权价值的基本步骤（针对看涨期权）
　　（1）确定可能的到期日股票价格
　　（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值　　
　　（3）计算套期保值比率
　　

　　（4）计算投资组合成本（期权价值）
　　购买股票支出＝套期保值率×股票现价＝H×S₀
　　
　　期权价值＝投资组合成本＝购买股票支出－借款
　　＝HS₀-B

【例题9·计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40% ，或者降低30%。无风险利率为每年4%。拟利用复制原理，建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合1年后的价值与购进该看涨期权相等。

要求：

（1）计算利用复制原理所建组合中股票的数量为多少？

（2）计算利用复制原理所建组合中借款的数额为多少？

（3）期权的价值为多少？

（4）若期权价格为4元，建立一个套利组合。

（5）若期权价格为3元，建立一个套利组合。

【答案】

（1）上行股价=20×（1+40%）=28（元）

下行股价=20×（1-30%）=14（元）

股价上行时期权到期价值=28-21=7（元）

股价下行时期权到期价值=0

组合中股票的数量（套期保值率）=期权价值变化/股价变化=（7-0）/（28-14）=0.5（股）

（2）借款数额=（到期日下行股价×套期保值比率）÷（1+持有期无风险利率）=（14×0.5）/（1+4%）=6.73（元）

（3）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=0.5×20－6.73=3.27（元）

（4）由于目前看涨期权价格为4元高于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：出售一份看涨期权，借入6.73元，买入0.5股股票，可套利0.73元。

（5）由于目前看涨期权售价为3元低于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：卖空0.5股股票，买入无风险债券6.73元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.27元。

2.风险中性原理

到期日价值的期望值=上行概率×C_u+下行概率×C_d
期权价值=到期日价值的期望值÷（1+持有期无风险利率）

闫老师的记忆方法：先写成P= u-d / u-d  然后将上面的u换成1+r,即得出公式P

先写成1-P= u-d / u-d ，然后将上面的d换成1+r，即得公式1-P
　　期权价值＝（上行概率×上行时的到期日价值＋下行概率×下行时的到期日价值）/（1＋r）

（二）二叉树期权定价模型

1.单期二叉树定价模型

（1）原理（风险中性原理的应用）：期权价格=

其中：上行概率= ，下行概率=

期权的价格=上行概率×C_u/（1+r）+下行概率×C_d/（1+r）

即：

　　

例题：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，到期时间是6个月。把6个月的时间分为两期，每期3个月。每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%

　　三、多期二叉树模型

【例】已知：股票价格S₀＝50元，执行价格为52.08元，年无风险利率为4%，股价波动率（标准差）为0.4068，到期时间为6个月，划分期数为6期。要求计算期权价值。
　　【答案】

u＝1＋上升百分比＝
d＝1－下降百分比＝

　　1.确定每期股价变动乘数
　　u＝1.1246
　　d＝0.8892
　　【注意】计算中注意t必须为年数，这里由于每期为1个月，所以t＝1/12年。　　

　　2.计算概率
　　上行百分比＝u－1＝1.1246－1＝12.46%
　　下行百分比＝1－d＝1－0.8892＝11.08%
　　4%/12＝上行概率×12.46%＋（1－上行概率）×（－11.08%）
　　上行概率＝0.4848
　　下行概率＝1－0.4848＝0.5152　　
　　

　　3.建立股票价格二叉树
　　
　　【填表规律】以当前股价50为基础，对角线的数字按照下行乘数计算；横排数字按照上行乘数计算。

4.按照股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值二叉树，并计算期权价值。

怎么构建期权二叉树呢？

一、            只关注股票二叉树映最后一列的数字，即101.15，79.98，63.24，50，39.53，31.26，24.72，上述7个数字中，只有上面的三个数字是比行权价格52.08大（用各自数字减去52.08得出期权内在价值C），填在期权二叉树的最后一列，比52.08小的四个数字直接写成0。

二、            Cu=Su-X=101.15-52.08=49.07,以此类推。计算出来最后一列的期权价格，再利用公式到期日价值的期望值=上行概率*Cu+下行概率*Cd=PCu+(1-p)Cd

0.4848*49.07+0.5152*27.9=38.04,其余数字均以此类推，一直计算到第一列的数字，再除以无风险利率，即为期权价值的现值。

　　年无风险利率4%

 

(三)布莱克－斯科尔斯期权定价模型（BS模型）

1.假设

（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；

（2）股票或期权的买卖没有交易成本；

（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；

（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；

（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；

（6）看涨期权只能在到期日执行；

（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。

布莱克—斯科尔斯期权定价模型的公式如下：
　　

按照陈老师的记忆公式：

C=S-X：可以理解为看涨期权的价格就是市场价格与执行价格的差额。

利用这个公式继续拓展，执行价格是一个未来的数值，需要用连续复利系数来折现，即，，然后再把S乘上 ，把乘上，得出下面的式子：

，其实就是用C=S-X拓展一下得出来的

就是利用 = 把第一个公式做的变形

 

D1：一个美女靠在沙发上看未来，往前看：是第T期的无风险利率和半个方差，往下看：是西格马和根号T这一对宝贝。

或者：一个美女靠在沙发上想未来（行权价格现值）往前看是半个宝贝，往下看是一对宝贝

D2：是用D1减去一对宝贝

　　【例·计算题】2010年8月15日，甲公司股票价格为每股20元，以甲公司股票为标的的代号为甲20的看涨期权的收盘价格为每股1.5元，甲20表示此项看涨期权的行权价格为每股20元。截至2010年8月15日，看涨期权还有3个月到期。甲公司股票回报率的标准差为0.4，资本市场的无风险利率为年利率12%。　
　　（1）使用布莱克－斯科尔斯模型计算该项期权的价值（d₁和d₂的计算结果取两位小数，其他结果取四位小数）。
　　（2）如果你是一位投资经理并相信布莱克－斯科尔斯模型计算出的期权价值的可靠性，简要说明如何作出投资决策。
　　【答案】
　　（1）
　　

　　正态分布下的累积概率[N（d）]
　　（即变量取值小于其均值与d个标准差之和的概率）

　　d₁＝0.25 d₂＝0.05

　　查附表六可以得出：
　　N（d₁）＝N（0.25）＝0.5987
　　N（d₂）＝N（0.05）＝0.5199
　　C₀＝20×0.5987－20×e^-12%×0.25×0.5199
　　＝11.97－20×0.9704×0.5199
　　＝11.97－10.09＝1.88（元）
　　（2）由于看涨期权的价格为1.5元，价值为1.88元，即价格低于价值，所以投资经理应该投资该期权。

4、看涨期权—看跌期权平价定理

对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立：
看涨期权价格C－看跌期权价格P＝标的资产的价格S－执行价格的现值PV(X)

【例题15·计算题】A公司的普通股最近一个月来交易价格变动很小，投资者确信三个月后其价格将会有很大变化，但是不知道它是上涨还是下跌。股票现价为每股100元，执行价格为100元的三个月看涨期权售价为10元（预期股票不支付红利）。

（1）如果无风险有效年利率为10%，执行价格100元的三个月的A公司股票的看跌期权售价是多少（精确到0.0001元）？

（2）投资者对该股票价格未来走势的预期，会构建一个什么样的简单期权策略？价格需要变动多少（考虑时间价值，精确到0.01元），投资者的最初投资才能获利？

【答案】

（1）根据看涨-看跌期权平价关系：

看跌期权价格=看涨期权价格-股票现价+执行价格/（1+R）^t

=10-100+100/（1+10%）^0.25

=-90+97.6454

=7.6454（元）

（2）购买一对敲组合，即1股看跌期权和1股看张期权

总成本=10+7.6454=17.6454（元）

股票价格变动=17.6454×（1+10%）^0.25=18.07（元）

　　【例·计算题】（2008年）D 股票当前市价为25.00元/股，市场上有以该股票为标的资产的期权交易，有关资料如下：
　　（1）D股票的到期时间为半年的看涨期权和看跌期权的执行价格均为25.30元；
　　（2）D股票半年后市价的预测情况如下表：

 

　　（3）根据D股票历史数据测算的连续复利收益率的标准差为0.4；
　　（4）无风险年利率4%；
　　（5）1元的连续复利终值如下：