奇数幻方的构造方法

 

幻方简介

       幻方又称魔方，是一组排放在正方形中的整数组成，其中每行、每列以及两条对角线上数之和均相等。通常幻方从1到N²的连续整数组成，其中N为正方形的行（也是列）的数目。所以N阶幻方有N行N列，由整数1到N²组成。

       当然了，幻方的研究方向不仅仅只是研究1到N²的连续整数组成的幻方，而是有很多种，如平方幻方、立方幻方、3维幻方、N维幻方，以及各种神奇的幻方。

       我研究了奇数次幻方的几种生成算法，给出了每种算法的3阶和5阶幻方方阵；并且编写了能够生成这几种算法的幻方的程序。

奇数阶幻方算法介绍

德拉鲁布（De laloubere）算法

       德拉鲁布算法可以生成任意大于1的奇数阶的幻方；算法如下：

当n(n>1)是奇数时，只需按以下步骤填写，即可得到一个n阶幻方。

1.   先画一个n×n方格表；

2.   把1填写在最顶行的中间；

3.   然后依次填写2、3、……、n。当k填好后，若k的右上方空，则把k+1填在此格，否则，把k+1填在k的下方。(注意，这里我们把最左列视作在最右列的右方，把最底行视作在最顶行的上方)

 

如3阶幻方：

8	1	6
3	5	7
4	9	2

 

如5阶幻方：

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

 

马步法

       马步法可以生成任意大于1的奇数阶的幻方；马步法是按照象棋中马的行棋规则来填写数字，如果跳的位置已被占，则跳步到另一个位置继续跳马步。

具体算法如下：

当n（n>1）是奇数时，只需按以下步骤填写，即可得到一个n阶幻方。

1.   先画一个n×n方格表；

2.   把1填写在最顶行的中间；

3.   然后依次填写2、3、……、n。当k填好后，若k的右1下2的位置（象棋中马走的方式），则把k+1填在此格，否则，把k+1填在k的下方（称为跳步）。(注意，这里我们把最左列视作在最右列的右方，把最上行视作在最底行的下方)

 

如3阶幻方：

8	1	6
3	5	7
4	9	2

 

如5阶幻方：      

23	12	1	20	9
4	18	7	21	15
10	24	13	2	16
11	5	19	8	22
17	6	25	14	3

       马步法并非一定要按照右1下2的方式跳马，而是可以向任何一个方向安进行跳马，但是不同的跳马方向，数字1的位置和每次需要跳步时调的方式不同。

       通过研究，我发现，通过马步法生成的n阶奇数幻方时，每按照跳马方法填写n个数字则需要进行一次跳步。

另外，我发现其实数字1的位置并非必须在第一行的中间，如果数字1在其它位置，也是可能能够组合出幻方的，但是在跳步的时候就不一定是跳到之前数字的下方了，它肯能跳到其它的位置。

       由此，给出四个参数：

l  start row：表示数字1所在的行数

l  start col：表示数字1所在的列数

l  step row：表示跳步时k+1从k处向下移动的行数

l  step col：表示跳步时k+1从k处向右移动的列数

只要给出的这4个参数合适，则通过这4个参数可以生成任何奇数阶的幻方方阵。

       例如，设置（start row = 3，start col=2，step row = 2，step col=0），则可以生成如下的3阶幻方：

2	9	4
7	5	3
6	1	8

 

设置（start row = 3，start col=3，step row = 0，step col=4），则可以生成如下的5阶幻方：

17	11	10	4	23
5	24	18	12	6
13	7	1	25	19
21	20	14	8	2
9	3	22	16	15

 

奇偶有序型奇数阶幻方

奇偶有序性幻方除了满足幻方的条件外，还有自己独特的特性（什么特性呢，看下面的例子吧），

按照下面方法可以构造奇数阶的奇偶有序型幻方的方法。

当n(n>1)是奇数时，只需按以下步骤填写，即可得到一个n阶幻方。

1.   先画一个n×n方格表；

2.         把1填写在最顶行的中间；

3.         然后依次填写2、3、……、n。当k填好后，若k的上方(k-1)/2步，再往左(k-1)/2步的位置（也就是k的左斜上方(k-1)/2步处）为空，则把k+1填在此格，否则，把k+1填在k的下方。(注意，这里我们把最右列视作在最左列的左方，把最底行视作在最顶行的上方)

 

如3阶奇偶有序型：

6	1	8
7	5	3
2	9	4

 

如5阶奇偶有序型：

14	10	1	22	18
20	11	7	3	24
21	17	13	9	5
2	23	19	15	6
8	4	25	16	12

 

其它方法：

       只要得到了一个幻方，将幻方左右翻转，照样可以获得一个幻方。

同样将任何一个幻方顺时针分别旋转90度、180度和270度可以分别得到另外3个幻方。

因此，从每一个幻方中都可以衍生出7个幻方。

 

算法的程序实现

       下面给出上述算法的C语言程序实现，因为这几种算法比较相似，因此C语言实现也很相似，这里只给出马步法的代码作为参考。

       下面代码为马步法生成N阶幻方的演示代码，去掉了跟算法无关的细节。

      

       UINT     row = 0;

       UINT     col = (n-1)/2;

UINT      mqArry[N][N];      //存放N阶幻方的数组，myArry[row][col]

 

       memset(mqArry, 0, N * N *sizeof(UINT));

      

       mqArry [row][col] = 1; //第一行中间位置存放1

 

       for(i=2; i<=n*n; i++)

       {

              //获取下一个数的位置，row+2，col+1

              row = (row+2)%N;

              col = (col+1)%N;

 

              //如果新的位置已经有数了，则将下一个数的位置设置为上一个数的下方

              if(buf[row*n+col] > 0)

              {

                     row = (n+row-1)%N;

                     col = (n+col-1)%N;

              }

             

              mqArry [row][col] = i;  //将新的数写入新获取的数组位置中

       }