一、先推导求朔望月周期的公式：

      设朔望月的周期为T_s ，恒星月的周期为T_h ， 两者之差为△T ，地球恒星年的周期为T_地 ，地球公转角速度为V_地 ，月球公转角速度为V_月 。

∴ △T＝T_s－T_h ，   V_地＝360º /  T_地 ，     V_月＝360º / T_h  ，

根据恒星月与朔望月的定义可知，恒星、地球、月亮三者在初始时刻 t₁ 、经过一个恒星月的时刻 t₂ 、到达完成一个朔望月的时刻 t₃ 的位置，如下面（1）（2）（3）三图所示：

 

http://s11/mw690/001oA3Sity6XsM7bH9E9a&690

 其中  ∠AOE ＝ ∠BOD        而  ∠AOE ＝V_月·△T

     ∠BOD ＝∠BOC ＋∠COD ＝V_地·T_h＋ V_地·△T

    ∴ V_月·△T ＝ V_地·T_h ＋V_地 ·△T

       V_月·△T－V_地·△T＝V_地·T_h 

    ∴( V_月－V_地)△T＝V_地·T_h

∴△T＝V_地·T_h / ( V_月－V_地)

   而△T＝T_s－T_h              ∴T_s＝T_h ＋△T

∴求朔望月周期的公式为:  T_s＝T_h＋（V_地·T_h ）/  ( V_月－V_地)

二、计算朔望月周期Ts的值

   ∵计算公式为：T_s＝T_h＋（V_地·T_h ）/  ( V_月－V_地) 

   已知 T_h＝27.32166 日，   T_地＝365.25636 日

      ∴ V_月 ＝360º / T_h＝360º / 27.32166 ＝13.17636º

         V_地 ＝360º / T_地 ＝360º / 365.25636 ＝0.98561º

   代入公式得     

T_s＝T_h＋（V_地·T_h ）/  ( V_月－V_地)   

  ＝27.32166＋（0.98561×27.32166 ）/（13.17636－0.98361）

      ＝27.32166＋（26.92848/12.19075）

      ＝27.32166＋2.20893

      ＝29.53059  （日）

    此计算值与标准值符合很好，说明公式与推导过程可靠。

三、解如下天文竞赛试题:

   求恒星月周期长度为原来的2倍时的朔望月周期长度

   解答:

计算公式为：  T_s＝T_h＋（V_地·T_h ）/  ( V_月－V_地)

由题意知：现在 T_h＝27.32166×2 ＝54.64332

    V_月＝360º / 54.64332 ＝6.58818     V_地 不变，仍为0.98561

  ∴ T_s＝54.64332＋（0.98561×54.64332 ）/（6.58818－0.98561）

      ＝54.64332＋ 53.85701 / 5.60257

      ＝54.64332＋ 9.61291

      ＝64.25623  （日）

四、附:公式的简化与应用：

  T_s＝T_h＋（V_地·T_h ）/  ( V_月－V_地)

其中   V_地＝360º / T_地  ， V_月＝360º / T_h  ，

  T_s＝T_h＋(360º/ T_地)·T_h / (360º/ T_h－360º/ T_地)

    ＝T_h ＋(T_h / T_地) / (1 / T_h－1 / T_地)

  (1 / T_h－1 / T_地)Ts ＝ (1 / T_h－1 / T_地)T_h＋T_h / T_地

  (1 / T_h－1 / T_地)Ts＝1 －T_h / T_地＋T_h / T_地

  (1 / T_h－1 / T_地)Ts＝1

  1/Ts = 1 / T_h－1 / T_地   这就是著名的会合周期公式

此公式更好记，既然它是用前一公式推导出来的，用它计算朔望月周期，其结果自然是一样的，但它的计算更为简捷。这里不妨用它来算一下，为此先作一下如下变换：

∵  1/Ts ＝1 / T_h－1 / T_地       ∴  (1 / T_h－1 / T_地)Ts＝1

     Ts  ＝1 /(1 / T_h－1 / T_地)＝T_h·T_地 /（ T_地－ T_h）

现将T_h＝27.32166 日  ，  T地＝365.25636 日代入，

   则有：                              

    Ts＝T_h·T_地  / （T_地－T_h ）

      ＝27.32166×365.25636 / (365.25636－27.32166)

      ＝9937.41008/337.93470 ＝29.53059  （日）

  果然，结果相同。

  对天文竞赛的那道计算题也是以用此公式计算更为简捷，

不过这时T_h=2×27.32166＝54.64332，所在得结果是

   Ts＝54.64332×365.25636/（365.25636－54.64332）

  ＝19958.8202/ 310.61304

      ＝54.64332＋ 9.61291

      ＝64.25622  （日）

显然，这结果也与用前面方法算的结果相一致。

    更有意义的是可以触类旁通，将它应用于对行星日长S的计算。

如设行星的自转周期和公转周期为T_自和T_公且均为自西向东转，同理可得S=T_自×T_公 / （T_公－T_自）；

若自转与公转的转动方向相反，则为：S=T_自×T_公 / （T_公+T_自）。

     对水星而言，其自转与公转的转动方向相同，T_公=88地球日，T_自=59地球日,水星上的日长

     S=T_自×T_公 / （T_公－T_自）=59×88/(88-59)

      =5192 /29 =179(地球日) ,可见水星的一天比它的二年还长.

    对金星而言，其自转与公转的转动方向相反，T_公=225地球日，T_自=243地球日,金星上的日长

     S=T_自×T_公 / （T_公+T_自）=225×243/(243+225)

    =54675/468=117(地球日)

      =5160.03 /29.33 =175.9(地球日)

    对其它行星来说,也可这样计算其日长,不过因其公转周期远远长于自转周期,所以算得的日长与自转周期都很接近.。