[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win_哑熊

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[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win

(2010-02-01 18:14:21)

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题目请见这里：

呃，我瞎出的题，所以题面描述比较扯……大意就是说甲和乙打了n场比赛，赢了m场，且每场比赛甲赢乙的概率都是相同的，问这个概率的期望是什么。

我出这个题的时候还没有学概率论，是自己瞎算的……这学期学了概率论，某天突然想到这个题，感觉我以前算的方法好像不是很正确，于是重新算了一下，看到网上也有人问过这道题，就写在这里吧。

记随机变量X:甲在那n场比赛里面赢的次数，Y:每场比赛甲赢乙的概率，这里当然有0<=X<=n且为整数，0<=Y<=1且为实数。那么所求的就是X=m这个条件下Y的期望。

由期望的定义可以得到所求即为：

http://s9/middle/4c396f43x7e87961562a8&6902843][TJU 3319] I Will Win" TITLE="[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win" />

那么现在的问题就是算出上式中的P，而由条件概率公式及贝叶斯（见鬼，一打就打成被噎死）公式可得：

http://s4/middle/4c396f43x7e879680eaa3&6902843][TJU 3319] I Will Win" TITLE="[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win" />

显然在不存在X值的条件下可以认为Y服从均匀分布，因此对于上式中的分子有：

http://s7/middle/4c396f43x7e8796ededa6&6902843][TJU 3319] I Will Win" TITLE="[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win" />

同样，对于上式中的分母有：

http://s14/middle/4c396f43x7e879756555d&6902843][TJU 3319] I Will Win" TITLE="[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win" />

而又有：

http://s4/middle/4c396f43x7e879898a6d3&6902843][TJU 3319] I Will Win" TITLE="[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win" />

从而可得：

http://s4/middle/4c396f43x7e87991b58a3&6902843][TJU 3319] I Will Win" TITLE="[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win" />

计算这个比较复杂的式子可以得到最终的超简单结果：

http://s3/middle/4c396f43x7e87a1f087e2&6902843][TJU 3319] I Will Win" TITLE="[HDU 2843][TJU 3319] I Will Win" />

相信讲的还算清楚吧。对于其中的积分式计算起来可能并不容易，反正我算了好久，是反复应用分部积分法得到的，需要用n-m次。

PS.我总觉得这个题应该有很简单的做法，或者有直观的方法，希望大家不吝赐教。

PS.以图片方式插入公式实在太不爽了……

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