等腰三角形中的分类讨论

在等腰三角形中有很多需要分类讨论的问题。分类讨论最关键的是要做到不重不漏，难点在于如何确定分类标准。一般地，我们可以有两种思路对等腰三角形进行分类讨论：一种思路是按等腰三角形的顶角的顶点进行分类讨论，一种思路是按照等腰三角形的腰进行分类讨论。

一、求等腰三角形的边长或周长问题

例1. 已知等腰三角形的两边长为7和3，则它的周长为                  .

【解析】

本题按照腰进行分类讨论即可，7和3都有可能是等腰三角形的腰，但由三角形三边关系可知，排除了3为腰长的可能。但需注意的是，虽然本题答案只有一个，但过程中得要有分类讨论。

【答案】17

二、求等腰三角形的角度

例2. 已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数      .

【解析】

由于本题没有给出图形，所以题中腰上的高需要分类讨论，当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，此时顶角是30°；当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形的外部，此时顶角为150°.

【答案】30°或150°

三、在平面直角坐标系中求等腰三角形顶点坐标

例3. 在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标.

【解析】

由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论。点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。按此分类讨论，若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0， ），或（0， ）；若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（0，-2）.

【答案】 （0，-4），（0， ），（0， ），（0，-2）

例4. 如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为多少？

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【解析】

由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。由题意，OD=5,当OD为腰时，点O和点D均有可能为等腰三角形顶角的顶点，所以若点O为顶点时，则OP=5，故点P坐标为（3,4），若点D为顶点时，则DP=5，故点P坐标为（2,4）或（8,4）；当OD为底边时，点P就在OD的中垂线上，则此时点P坐标为（ 4），显然此时两腰长不为5，不合题意。

【答案】点P坐标为（2,4）或（8,4）或（3,4）