三十一、分解质因数法

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通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。   例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度） 解：把1331分解质因数： 1331=11×11×11 http://www.sumir.cn/image/545.gif 答：这块正方体木块的棱长是11厘米。   例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度） 解：把324分解质因数： http://www.sumir.cn/image/546.gif 324= 2×2×3×3×3×3 =（2×3×3）×（2×3×3） =18×18 答：这个数是18。

例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度）

解：把462分解质因数：

http://www.sumir.cn/image/547.gif

462=2×3×7×11

=（3×7）×（2×11）

=21×22

答：这两个数是21和22。

 

*例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）

解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。

1673=239×7

答：ABC代表239。

 

例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）

解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。

2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）

=48×48

正方形的边长是48米。

这块田地的周长是：

48×4=192（米）

答略。

 

*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）

解：3250-10=3240（个）

把3240分解质因数：

3240=2³×3⁴×5

接近40的数有36、37、38、39

这些数中36=2²×3²，所以只有36是3240的约数。

2³×3⁴×5÷（2²×3²）

=2×3²×5

=90

答：这个幼儿园有90名小朋友。

 

*例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度）

解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。

因为，105=3×5×7，

所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；

含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；

含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。

所以，105的约数共有4+3+1=8个。

答略。

 

*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）

解：将这九个数分别分解质因数：

15=3×5

22=2×11

30=2×3×5

35=5×7

39=3×13

44=2×2×11

52=2×2×13

77=7×11

91=7×13

观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。

由以上观察分析可得这三组数分别是：

15、52和77；

22、30和91；

35、39和44。

答略。

*例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）

解：把5040分解质因数：

5040=2×2×2×2×3×3×5×7

由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：

7，2×2×2，3×3，2×5

即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。

答略。

 

*例10 在等式35×（    ）×81×27=7×18×（    ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）

解：将已知等式的两边分解质因数，得：

5×3⁷×7×（    ）=2²×3⁶×7×（    ）

把上面的等式化简，得：

15×（    ）=4×（    ）

所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。

15×（4）=4×（15）

答略。

 

*例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）

解：把84分解质因数：

84=2×2×3×7

除了1和84外，84的约数有：

2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。

因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。

答略。

*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度）

解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。

14=2×7        143=11×13

30=2×3×5    169=13×13

33=3×11       4445=5×7×127

75=3×5×5    4953=3×13×127

在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。

在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。

按这个要求每一组四个数的积应是：

2×7×11×127×3×3×5×5×13×13

因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。

答略。

 

*例13 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）

解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：

x（x+6）= 315

x（x+6）=3×3×5×7

=（3×5）×（3×7）

x（x+6）=15×21

x（x+6）=15×（15+6）

x=15

x+6=21

答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。

 

*例14 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）

解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：

（x-1）×x×（x+1）

=210

=21×10

=3×7×2×5

=5×6×7

比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。

答：这三个连续自然数分别是5、6、7。

*例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）

解：把1440分解质因数：

1440= 12×12×10

=2×2×3×2×2×3×2×5

=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）

=8×9×20

如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：

8×9=72，

20×3+12=72

正符合题中条件。

答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。

 

*例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）

解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：

3³×1000+3²×10=27090

把27090分解质因数：

27090=43×7×5×3²×2

根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：

43×14×9×5

这个质因式中14就是9与5之和。

所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。

43-9=34（岁）

答：母亲在34岁时生下第二个儿子。