问题描述:

狼来了问题：

合理假设：

（1）村民初始对小孩的信任度为0.8；

（2）可信的小孩说谎的可能性为0.1；

（3）不可信的小孩说谎的可能性为0.5；

小孩说两次谎后，他的可信度变为0.138，求如果这个孩子要改邪归正，他需要多少次才能把信任度提高到80%？

二、实验数据说明

1. 实验数据

  a.事件A表示“小孩说谎”，用事件A*表示“小孩不说谎”；

  b.事件B表示“小孩可信”，用事件A*表示“小孩不可信”；

三、解决方案:

使用语言：python

原理：贝叶斯概率

思路：小孩不说谎后，使用贝叶斯概率公式，计算小孩每次真话后的可信度，记录小孩可信度首次超过0.8时的计算次数，即为结果。

步骤：

$1.设小孩当前的可信度P(B)为0.138,次数为0；

$2.使用贝叶斯概率公式

P(B/A*)=P(A*/B)*P(B)/(P(A*/B)*P(B)+P(A*/B*)*P(B*))

   求小孩不说谎后的可信度；次数加一，小孩当前的可信度为P(B)=P(B/A*)；

$3.如果P（B）>=0.8,记录次数，结束；否则，执行$2.

四、结果如下：

(1)  表1.1列出了小孩初始可信度为0.8时，小孩说谎5次，每次说谎后的可信度；   

表1.1

(2)  表1.2表示小孩连续说谎2次后，可信度为0.138时，小孩连续不说谎十次，每次不说谎后的可信度；

表1.2

(3)  图1.1左图显示了小孩说谎后的可信度的变化情况，右图显示了连续不说谎10次的可信度的变化情况；x轴表示不说谎次数，y轴表示可信度。

图1.1

结论：从表1.2可以看出，小孩改邪归正后，连续不说谎6次后的可信度可以达到0.8448，首次超过0.8。

python代码

import numpy as np;

import matplotlib.pyplot as plt;



def confidence_p_b_a(p_b,p_a_b,n):

    #计算小孩说n次谎话，每次说谎后的可信度;
    res=[];

    i=1;

    while i<=n:

        p_a = np.multiply(p_b, p_a_b);

        sum = np.sum(p_a);

        p = p_a[0] / sum;

        res.append(p)

        #更新先验概率；
        p_b=([p,1-p]);

        i+=1;

    return res;



def confidence_and_times(p_b,p_a1_b,n,pl):

    #计算小孩说n次不说谎话，每次不说谎后的可信度;
    res1=[];

    i=1;

    while i<=n:

        p_a = np.multiply(p_b, p_a1_b);

        sum = np.sum(p_a);

        p = p_a[0] / sum;

        #times记录最后一次可信度小于pl的不说谎的次数；
        if p< pl:

            times=i;

        res1.append(p)

        #更新先验概率；
        p_b=([p,1-p]);

        i+=1;

    return res1,times;



p_b=([0.8,0.2]);

p_a_b=([0.1,0.5]);



ax1=plt.subplot(121);

res=confidence_p_b_a(p_b,p_a_b,10);

plt.plot(np.arange(1,len(res)+1,1),res,'*-g')

plt.xlabel(u'说谎次数',fontproperties='SimHei');

plt.ylabel(u'可信度',fontproperties='SimHei');

ax1.set_title(u'小孩说谎后的可信度',fontproperties='SimHei');

print(res)



p_b2=([0.138,1-0.138]);

p_a1_b2=([1-0.1,1-0.5]);

[res1,times]=confidence_and_times(p_b2,p_a1_b2,10,0.8);

print('小孩',times+1,'次不说谎后的可信度首次超过0.8，可信度为：',res1[times]);

print(res1)



ax2=plt.subplot(122);

plt.plot(np.arange(1,len(res1)+1,1),res1,'*-b');

plt.plot(times+1,res1[times],'or');

plt.annotate(u'小孩可信度高于0.8',xy=(times+1,res1[times]),xytext=(times+1-0.2,res1[times]-0.2),arrowprops=

             dict(facecolor='red',shrink=0.1,width=1),fontproperties='SimHei');

plt.xlabel(u'不说谎次数',fontproperties='SimHei');

plt.ylabel(u'可信度',fontproperties='SimHei');

ax2.set_title(u'小孩不说谎后的可信度',fontproperties='SimHei');

#plt.legend(prop={'family':'SimHei','size':15})#显示中文；
plt.show();