第16届（2004年）亚太地区数学奥林匹克竞赛最后一题是一道不等式证明题：

该赛题曾是公认的难题，常见的证明会很繁琐．

文[1]首先采用降幂策略，利用柯西不等式把原不等式左边的六次多项式放缩为三次多项式，然后利用基本不等式继续放缩，最后作差分析，利用抽屉原理并经过复杂的计算得到了所要证的不等式：

本文将首先给出原赛题的另证．然后对其进行加强，并给出多种证明．最后做一点发散和拓展，给读者留下思考的空间．

   最后需要指出的是，原赛题及其加强的各种形式的推广已有不少研究，有兴趣的读者可参考文献[4]-[10]，这里不再赘述．

参考文献

[1] 熊斌，冯志刚．数学竞赛之窗[J]．数学通讯，2004，11．

[2] 蔡玉书．重要不等式[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，2011，3．

[3] 安振平．二十六个优美不等式[J]．中学数学教学参考（上旬），2010，1-2．

[4] 欧亚召．一道亚太数学奥林匹克试题的加强及推广[J]．中学数学研究（江西），2012，1．

[5] 谭震．构造二次函数巧证一道国际竞赛题[J]．数学通讯（上半月），2009，1-2．

[6] 谭震．一个四元不等式猜想的构造证明[J]．中学生数学（高中），2011，8．

[7] 张凤霞，谷焕春．一道亚太数学奥赛题的推广[J]．数学通讯，2005，11．

[8] 谭志中．两个不等式的统一推广与应用[J]．数学通讯，2007，19．

[9] 宋庆．一道亚太地区赛题的加强与推广之简证[J]．数学通讯，2008，11．

[10] 杜旭安．一道竞赛题的加强与推广[J]．数学通讯，2008，5．

http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/9/4/5/945906a9fa49a1e949212dfc5dd8f3371645ca85.gif(We let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/a/8/7a8a21f77261dde4511ad79c8fe4b5da3e77eb31.gif.)

5.Circles http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/9/5/4959627bdb882062bf2d1a1cde4bb119077fd40e.gif meet at points http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/a/e/4/ae4f281df5a5d0ff3cad6371f76d5c29b6d953ec.gif. Let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/6/3/c63ae6dd4fc9f9dda66970e827d13f7c73fe841c.gif be the midpoint of the arc http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/6/d/06d945942aa26a61be18c3e22bf19bbca8dd2b5d.gif of circle http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/6/3/c63ae6dd4fc9f9dda66970e827d13f7c73fe841c.gif lies inside http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/9/5/4959627bdb882062bf2d1a1cde4bb119077fd40e.gif). A chord http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/7/0/3704f1f9dae9461db6c9186a2f36ed9eef17161a.gif of circle  intersects http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/9/5/4959627bdb882062bf2d1a1cde4bb119077fd40e.gif at  ( lies inside http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/3/b/73b077a63e22815fe5c8ee82dab9894be842b19c.gif). Let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/8/8/3881518fc33f8400d03d37796407e704afb7d8de.gif be the tangent line to http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/1/1/511993d3c99719e38a6779073019dacd7178ddb9.gif, and let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/3/0/7301a517a7fb6ac6c57089599516516b45e3ec6e.gif be the tangent line to http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/3/1/c3156e00d3c2588c639e0d3cf6821258b05761c7.gif. Prove that the circumcircle of the triange formed by the lines http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/6/d/06d945942aa26a61be18c3e22bf19bbca8dd2b5d.gif is tangent to http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/9/5/4959627bdb882062bf2d1a1cde4bb119077fd40e.gif.                                2012亚太地区数学奥林匹克试题

      

                        USA AIME 2014   II      26 March 2014

5.实数r和s是多项式p（x）=x^3+ax+b的根，r+4 和 s-3 是多项式 q（x）=x^3+ax+b+240的根，求所有可能的b的绝对值的和。
9.10把椅子被放在圆周上。求所有包含至少3把相邻椅子的椅子的集合的个数。

5. Real numbers http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/a/0/f/a0f1490a20d0211c997b44bc357e1972deab8ae3.gif are roots of http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/d/8/f/d8fc7a1a3203ece5cf5f178894f7b1bb3f1733cd.gif, and http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/d/6/4d61d06a6a7640617e07b48a4d9d57205b93e9b9.gif are roots of http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/8/0/7/80718769cde847a0360b25cd0126c2c88085ac1e.gif. Find the sum of all possible values of http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/e/e/e/eeed1273c32a3c5b62a88ce59731afb81ffba1fb.gif.

9. Ten chairs are arranged in a circle. Find the number of subsets of this set of chairs that contain at least three adjacent chairs.

                                       http://cache.artofproblemsolving.com/asyforum/c/7/e/c7ebc01409d831cf20ae98bb8899167f7aee0c57.png亚太地区数学奥林匹克不等式题）" />

                                            

                    第55届（2014）IMO 越南国家队选拔试题

1.(day 1 problem 1)Find all functions http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/1/d/d/1dda727a7f26477555f829533115894514a8e020.gif such that

http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/c/f/0cf2c01af76fe43b598c5f98b90ee64671b27c2c.gif

2.(day 2 problem 1) a. Let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/c/0/3c01bdbb26f358bab27f267924aa2c9a03fcfdb8.gif be a triangle with altitude http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/1/1/511993d3c99719e38a6779073019dacd7178ddb9.gif a variable point on http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/6/d/9/6d95c1847219c633950f8f1ceca9761315abfc19.gif. Lines http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/b/1/f/b1fb3bec6fdb22e19a94fe4c6c4481ccba2ee9f0.gif intersect each other at http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/e/0/1/e0184adedf913b076626646d3f52c3b49c39ad6d.gif, lines http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/6/d/06d945942aa26a61be18c3e22bf19bbca8dd2b5d.gif intersect each other at http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/d/b/3/db362a34eab8889d0ef6a22d3fc86258192bc3f4.gif is a quadrilateral inscribed . Prove that