azp对2012年斯洛文尼亚国家队选拔赛中的一道不等式题发生了兴趣，继给出三种证明之后，先退后“进”，提出了以下求最值的问题：    

       我将此题贴在AOPS上，不到一小时，arqady回帖。在明白了我的真实意图后，补上了我们期待的不等式

       18、19、20...三天过去了...

      昨晚，arqady终于给出了该不等式的证明，不出我意料，用的还是他证明2012斯洛文尼亚三元不等式的老手法--去根号以及我非常喜欢的旧方法--均值不等式：

      享受，真正的享受...

    arqady的“三元证明”大家肯定是要看的，你同时看到的还有越南人Toc_______Ngan(可能是KHTN大学的学生)的证明。

     

     证明1：  

      证明2：

   注：Toc_______Ngan对安的二元不等式的证明很别致，值得借鉴。

      

      

         看Sqing博客，听Sqing讲那不等式的事情......

         http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h549604p318876455

          http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h549731p318970555

          http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h550215p319658955

http://www.artofproblemsolving.com/community/c2555h1041846

                         2012斯洛文尼亚数学奥林匹克不等式试题

c6h549604p3188758

c6h6474p6369102

c6h1243703p6371514

 问题749:2012年斯洛文尼亚国家队选拔不等式题的再探究        anzhenping

    

   问题745:2012年斯洛文尼亚国家队选拔不等式题   anzhenping

   

 关中狂人: 问题60:待定系数法证一不等式    

                 问题750:一个新颖优美的三元不等式问题

                     张云华：一个新颖优美的三元不等式参数估计   

问题750:一个新颖优美的三元不等式问题

安振平的不等式 arqady的证明（4)
anzhenping 问题759:四元代数不等式

 

                              songqing: 安振平的不等式 arqady的证明（4)

 

                               张云华 ：一个四元代数不等式的另证

张云华：一个四元代数不等式的加强与证明 

http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=146&extra=page=2&filter=type&typeid=1

2014波罗的海数学奥林匹克不等式题及其证明：

                                     M.Y最小值问题

       对正数 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/6/0/f/60fde3cc6d2093aa4487b453d6f8656cca6e8653.gif

                  张云华：对一个不等式问题中参数最小值的估计

                                                  2014波罗的海数学奥林匹克不等式题及其证明

            1359sqing不等式（一个有趣的不等式）

参考文献 sqing不等式

                        张云华：一对sqing不等式之证

 已知不等式 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/d/c/3dcda24350a7219c75a34cb4f0079978d4b63e95.gif 都成立. 

 求正数 http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/b/3/9/b3931f1ce298c536432fd324b3a1ab4337120689.gif  的最小值.

      我将此题贴在AOPS上，不到一小时，arqady回帖。在明白了我的真实意图后，补上了我们期待的不等式

      Let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/c/3/3c363836cf4e16666669a25da280a1865c2d2874.gif are non-negative numbers. Prove that:

               http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/1/b/01b111fb239f7f1eb2d9d19670cd6f00275fb36b.gif  .

      我翌日早晨一看到，当即就把常数http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/9/7/59732874000de6749893980f42bf5bb8f954f7bb.gif告诉安。

      18、19、20...三天过去了...

      昨晚，arqady终于给出了该不等式的证明，不出我意料，用的还是他证明2012斯洛文尼亚三元不等式的老手法--去根号以及我非常喜欢的旧方法--均值不等式：

     We need to prove thathttp://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/b/9/3b91ae117fbdc82fd8fe37e29f3fa4b13158a3e5.gif.
     By using AM-GM we obtain :
    http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/3/4/7343ea197ce89360504c08de6888ea40c94cc2c0.gif
   http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/e/6/7/e675ac61193742bfcab84f0051078ee47755262f.gif
   http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/e/f/5/ef57a4b00166e41863b18d6c88ad29cc3badfffb.gif
    http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/6/1/f/61fa1ab7b7f37ab33f6abcf9d7fba198a0b6ed3d.gif
   http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/e/6/2/e624f17333a3e0e5eec5ce581d3783dec4d8281b.gif
    http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/4/f/f4fdd9aa7eeb32119f005185439a3171688a751f.gif .

     享受，真正的享受...

    arqady的“三元证明”大家肯定是要看的，你同时看到的还有越南人Toc_______Ngan(可能是KHTN大学的学生)的证明。

   Let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/9/c/a/9caa91157421e243281346b0bf7a82b5200e67e2.gif be the positive real numbers . Prove that http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/8/a/58ac2fee847329882dfb0f51e4baaed894509aa4.gif

  证明1： Let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/f/6/0f635889662204ca7afb5512ddf0c210b6470083.gif , where http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/9/5/395df8f7c51f007019cb30201c49e884b46b92fa.gif are positives,
     Hence, we need to prove that http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/9/5/f95e69b4bdb0955c7e4ecae971cd66179e9a728d.gif ,
     which is http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/a/e/e/aee9506ae0e8608c4da3d6d9c7d1d6c67e0eb382.gif , which is true because
    http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/f/1/ff1658cf4b8e033ab9a03e61f8bb0969ec656a30.gif.

  证明2：Use AM-GM we have

  http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/4/0/b/40b9c3fb51c2b1bed8c286d7f9257b7dbad8884d.gif
     Equality holds when http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/1/0/710916a66a5f1d58d0b0289d4c32f8cd43cfacae.gif 
注：Toc_______Ngan对安的二元不等式的证明很别致，值得借鉴。

Let http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/d/8/5d8b1241b0484dd20c2cfeca6f692becfbab5d18.gif be the positive real numbers . Prove thathttp://data.artofproblemsolving.com/images/latex/e/2/4/e24922bc32132eda018864da990a7cb3833f6bc6.gif
Set http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/f/f/3/ff3a94a0743082400d607cd5028a65081b9c662e.gif  ,Use AM-GM ,http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/e/0/5e043661cebb969ea5e57798d7deb92b21538cf2.gif 
http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/7/f/d/7fd0a843ee9f6da89de7ee4c446bddb1760165b8.gif

若http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/3/d/c/3dcda24350a7219c75a34cb4f0079978d4b63e95.gif 是正数，则

       http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/a/0/6/a061d186ae0a491fafb8e53f01df8303bbca7d38.gif .

       http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/c/4/d/c4da9bd067df9ac38e6195768844b59f3a260ffb.gif .

       http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/0/1/b/01b111fb239f7f1eb2d9d19670cd6f00275fb36b.gif 
                      http://data.artofproblemsolving.com/images/latex/5/7/7/57734d9cd6ab56855598cb9012cffc3ac6beee78.gif .