二十二道不等式猜想中的否定与反例专题
杨学枝老师不等式猜想10、11的初等证明
杨学枝老师不等式猜想10、11的加强与证明（得到最佳指数）
杨学枝校长不等式猜想2的证明
杨学枝老师不等式猜想4的证明
杨学枝老师不等式猜想13的部分证明

1. 设，，则

，

当且仅当时取等号.

见《数学奥林匹克不等式研究》第一章“等价变换法证明不等式”例7.

2011.10.27，张小明老师（浙江海宁电大）利用凸函数的受控理论，解决其中的猜想1，2011.11.04张老师又进一步作了改进证明；2012.01.08、2012年5月，严文兰老师(.广东省河源市连平县忠信中学)先后用初等的方法进一步证明了猜想1，并作了如下推广：

设，，则

当且仅当时取等号.

2. 设，记，又记，.是关于的初等对称式，则有

.

见《数学奥林匹克不等式研究》第一章“等价变换法证明不等式”例14.

2010年1月，石焕南老师（北京联合大学师范学院），用控制不等式的方法证明了猜想2，并刊于《不等式研究通讯》2010年第2期上；2012.6.15，严文兰老师用初等的方法证明了猜想2.

3. 设，，且，则

，

当且仅当时取等号.

见《数学奥林匹克不等式研究》第四章“应用基本不等式证明不等式”例26.

2007年7月12日笔者解答了和的情况，分别见《数学奥林匹克不等式研究》第四章“应用基本不等式证明不等式”例26和第七章“其他法证明不等式例子”例27；2012.03.30，严文兰老师用计算机验证了当时，猜想3不成立.但对于当

时，还未解决.

4. 设则

，

当且仅当时取等号.

见《数学奥林匹克不等式研究》第三章“放缩法证明不等式”例7.

当时，不难证明猜想4成立；当时，杨学枝老师已经在《数学奥林匹克不等式研究》中证明了猜想4成立.

2011.10.20，何灯（福建省福清市港头中学）、李明（辽宁省沈阳市中国医科大学）、邹桂忠（广东茂名东华教育）三人否定了时猜想4不成立.但对于的情况，至今未有定论.

5. 设，且，则

.

见《数学奥林匹克不等式研究》第四章“应用基本不等式证明不等式”例11.

2011.10.25，李明老师认为猜想5不等式应反向.参见http://www.cdmath.org/Article/

ShowArticle.asp?ArticleID=931；2012.01.01，广东严文兰老师否定了猜想5，并指出其反向也不成立。

6. 当，为大于1的正整数时，有

，

当且仅当时取等号.

2010.02.21，何灯用机器验证了猜想6成立，2010.02.22，李明，2011.03.0，孙世宝老师用求导的方法证明了猜想6 ；2011.12.06，严文兰老师给出了猜想6的初等证法； 2010.03.18，石焕南老师利用Z.Pales的Gini平均比较定理证明了猜想6；李明老师还提出了猜想6的如下推广：

猜测6的推广：当，时，

，

当且仅当时取等号.

李老师指出，“利用maple软件观察出该推广成立.事实上，由上面笔者证明猜测6的过程易见，当或时，猜想6的推广式成立；当时，如何手工证明猜想6的推广式还有待进一步研究.

7. 设，为正整数，且，则

，

当且仅当时取等号.

若上述猜想成立，则对于任意非负数，有

.

以上猜想6，7中的诸式，见《数学奥林匹克不等式研究》第七章“其他法证明不等式例子”例6.

2011.11.01，张小明老师用求导的方法证明了猜想7，2011.11.04进一步对证明作了改进.

8. 设，n为正整数，，则

，

当且仅当时取等号.

见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题13.

2010.02.22，李明老师，2011.03.01，孙世宝老师，分别用求导的方法证明了猜想8；2011.12.06，严文兰老师给出了猜想8的初等证法；2010.03.18，石焕南老师指出，何灯在文[2]中利用一定的技巧并结合软件计算证实了该猜测，但其证明过程计算量较大且属于半手工证明，李明在文[3]中利用导数手工证得当或时猜想成立，而当时，未给出手工证明.，石老师利用Z.Pales的Gini平均比较定理，就，，的推广情形给出猜想6和猜想8的一个证明（刊于《不等式研究通讯》2010年第2期）.李明老师对猜想6与猜想8的证明刊于2010年第七期《数学通讯》.

参考文献

[1]杨学枝, 数学奥林匹克不等式研究[M]，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009

[2]何灯.《数学奥林匹克不等式研究》中猜测6的验证.不等式研究通讯，2010 年第1期.

[3]李明. 杨学枝猜想6的简证及其推广研究.不等式研究通讯，2010 年第1期

[4] Z.Pales. Inequalities for sums of powers[J] J.Math.Anal.and Appl.1988.131:265-270.

9. 设，且，则

，

当且仅当时取等号.

若猜想9为真命题，我们进一步思考，设，且，请问使猜想9成立的的最大值应为多少？

2011.12.28，严文兰老师证明了猜想9，刊于山东《中学数学杂志》2012年第七期。

10. 设，，且，则

，

当且仅当=1时取等号.

见下面猜想11.

11. 设，，，且，则

，

当且仅当=1时取等号.

以上猜想10，11，见《数学奥林匹克不等式研究》第七章“其他法证明不等式例子”例43.

2011.11.12，张小明利用元最值压缩定理证明了猜想10和猜想11；2012.01.02，广东严文兰用均值不等式和逐步调整法证明了猜想10和猜想11；2012.04.28，严文兰老师还对猜想10和猜想11作了最佳指数推广.

12. ，，记，则

，

当且仅当时取等号.

见《数学奥林匹克不等式研究》第七章“其他法证明不等式例子”例44.

2011.11.15，朱世杰老师（浙江省余姚县丈亭镇余姚三中）证明了猜想12，从而也证明了猜想16.

13. 当，以及15,17,19,21,23时有

.

见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题5.

2011.10.19，何灯部分否定了猜想13，得到猜想13在n为偶数时不成立，n为奇数时是否成立还不知道；2012.04.01，严文兰指出的奇数和的偶数，猜想13不成立，严老师还给出了时的证明.对于还未解决.

14. 设，为正整数，（此条件为后来所加），且，则

，

当且仅当时取等号.

2011.11.05朱世杰和何灯老师构造反例否定了猜想14；2011.11. 15，孙世宝老师证

明了增加了条件后的猜想14成立；2012.03.12 ，朱世杰老师用求导方法也证明了

增加了条件后的猜想14，刊于《不等式研究通讯》2011年第11期.

15. 设，为正整数，且，（此条件为后来所加），则

，

当且仅当时取等号.

2012.04.01，严文兰老师用求导方法证明了时，猜想15成立.

16. 设，,且，为正整数，且，则

，

当且仅当取等号.

以上猜想14，15，16， 见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题89.

2011.11.15，朱世杰用求导方法证明了猜想16.

17. 设，，且，则

，

当且仅当时取等号.

见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题90.

2011.10.20，江永明老师（重庆市长寿区第一中学），2012.04.04，严文兰老师分别列举了反例否定了猜想17.

18. 设，，，且，则

，

当时，当且仅当

时，（38）式取等号；其余情况，当且仅当（）时，（38）式取等号.

见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题96.

2012.04.01，严文兰老师证明了当时，猜想38不成立（情况，杨学枝已经证明）.

19. 设，且，证明或否定：

（1） ；

（2） ；

（3） .

当且仅当中有一个为0，其余个都等于1时，以上三式均取等号.这里表示中每（）个数乘积之和.

见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题100.

2012.04.05，孙世宝老师用求导法证明了猜想19.

20. 设四面体外接球半径为，内切球半径为，四个顶点，，，

所对的面的三角形面积分别为，，，，记，证明或否定：

ⅰ） ；

ⅱ） .

见《数学奥林匹克不等式研究》第六章“三角几何不等式”例6.

2012.04.01，严文兰举反例否定了猜想20中的ⅰ）式. 猜想20中的ii）式至今未有人证明.

21. 设，记，

，，则

,

当且仅当时取等号.

见《数学奥林匹克不等式研究》第九章“.《ALGEBRAIC INEQUALITIES》摘录”Chapter8题4.

2009.12.09，石焕南老师用控制不等式的方法证明了猜想21，参见《湖南理工学院学报》2010年6月，第23卷2期，石焕南文：“一个对称函数不等式猜想的证明”；2011.06.12，张俊杰（华南师范大学数学科学学院）用初等方法证明了猜想21，刊于《数学通报》，2012年第5期张俊杰文“杨学枝猜想21 的完善和初等证明”.

22. 设，且，记

，

为中第行第列元素的代数余子式，则的绝对值中至少有一个不大于（原有笔误，后作了修正）.

见《数学奥林匹克不等式研究》第八章“练习提示与参考答案”题121.

1012.04.01，严文兰老师举反例否定了猜想22.

至目前为止，猜想3，猜想4，猜想13，猜想20中的ii）式还未完全解决，有些猜想虽已证明成立，但有的较繁，有的还未找到初等证明，我们希望能尽早看到对这些问题的解决，最好是用初等方法解决.同时，也希望对其他猜想看到有更多更好的解决方法.   杨学枝：13609557381 yangxuezhi1121@126.com.

{写作完稿时间：2012.06.25，全国第八届初等数学研究学术交流会（2009.08.01—2009.08.03，福建厦门）大会报告文稿}

                                                                            转载自www.cdmath.org

 广雅数学奇人杨志明:我为猜想狂

    杨志明，湖北麻城人。现为广东广雅中学高级教师，数学竞赛备课组长。中国数学奥林匹克一级练员，全国高中数学联合竞赛优秀教练员、广东省优秀指导教师。主编、参编书籍15部，发表论文100多篇。

    教学中善于将思维教学与愉快教学融为一体，既注重发展学生的智力水平，也注重开发学生的非智力因素。所辅导的学生参加丘成桐中学数学科学奖等竞赛成绩优异。

    

     【挚友志明君，终身数学人。痴迷不等式，卓著教科文。夺冠堪谈笑，爱生如命根。  谦虚人越赞，出色世难寻。--吴康《中数情种》】

　　在广雅中学，传说中有一位终极数学教师，他是广雅中学数学竞赛的金牌教练，自从来了个他，广雅中学参加各项数学竞赛捷报连连。他就是杨志明一位来自湖北的“九头鸟”数学名师。

　　然而，采访杨志明却很有难度。一方面因为他是个谦逊的人，不太愿罗列成绩；另一方面是因为他很“理科”，不善讲故事。乍看似乎是个很普通的老师，但翻开他的个人简历却很惊人：一个个获奖荣誉称号；一串串主编或参编的书籍清单；一篇篇研究数学问题的学术著作；就连他辅导的学生也获奖无数。

　　杨志明，到底是怎样一个人？近日，羊城晚报记者专访到这位不善言辞的数学名师，发现原来他很文艺，喜欢用美学来教数学；原来他也很哲学，喜欢用哲理来解题；他还有一大嗜好，那就是玩猜想……

　　                               黄石二中名师“东南飞”

　　“不惑南飞落羊城，妻儿欢笑我顺心”，这是2007年12月，杨志明举家迁居广州后写下的随想。

　　此前，杨志明在湖北黄石二中当了14年的数学老师，在这所重点中学里他的教学成绩已很突出，学生曾荣获1998年黄石高考理科状元。在专业研究上，他在当地业内已小有名气，荣获第一届“青年初等数学研究奖提名奖”和第二届“青年初等数学研究奖”。听到他要离开的消息，黄石二中的领导都很不舍。然而，杨志明全家南下决心坚定。

　　来广州之前，杨志明没听说过广雅中学，只是上网搜到“中国清末四大书院之一、百年老校”等资料。当他第一次踏入广雅中学校门时，门卫对他很有礼貌，很热情，这一细节让他内心踏实多了，也见识到广州的包容；当天上午参加笔试，下午试讲一结束，学校马上通知录取他了，这又让他见识到广州的效率。

　　既向往之，则来之。办好手续后，杨志明迅速回到湖北家中，除了整理托运1000多元的书本到广州，其他什么财产都没带，拉着妻女便坐着火车直奔广雅。刚到广州的第一年，一家三口挤在一间单身宿舍，后来才有了自己的一套不大的房子，算是在广州扎根下来。5年过来，杨志明还是只能听懂一点点粤语，菜还是不忘家乡味，但已经在慢慢适应广州了，空闲时也爱跟老广一样到茶楼叹早茶。

　　                   “理科男”上课既文艺又哲学

　　杨志明给人的第一印象是儒雅，有典型的“理科男”性格内敛低调，不善言辞。但其实话题聊开了，发现他并不是一个沉闷的数学老师。

　　“我喜欢用唐诗、俗语来形容数学，让学生觉得数学不是那么枯燥。”原来，在教学上杨志明很有一手，主张思维教学与愉快教学相结合，“学数学的最高境界是从美学欣赏数学”。这是杨志明传达给学生的理念。在课程中，每当学生为一条长长的代数式焦头烂额时，他总喜欢来一句：“这个式子多么优美啊！”学生孙正昱说，“看着杨老师陶醉的表情，不得不绞尽脑汁思考眼前这些密密麻麻的数字与符号究竟有哪一点能与‘美’扯上关系？”苦思冥想后不得不暗叹自己修行尚浅，境界不高。转望这位数学界的“武林高手”，心下只余绵绵不断的敬佩之情。

　　杨志明的另外一“金句”是“这道题从哲学的角度反映出任何事物都有‘两面性。有学生透露，杨志明的金句还有诸如“从哲学上讲……”“我们可以从哲学的角度……”等，无一不展示着他对于哲学的深厚研究。“正是由于杨老师这样的讲解，数学课堂不再只是冷冰冰的数字与线条，更多了一丝丝理性与感性交融的温暖气息。”

　　                         费时十年只为解开一道不等式

　　不善讲故事的杨志明，一聊起数学，话匣子一下子就打开了。杨志明说，他从小就喜欢数学，但苦于当时没有任何课外书。记得初中时，一个同学有一本关于平面几何解题技巧的书籍，他好不容易借过来，把所有解题技巧都抄了下来，然后自己再慢慢琢磨。如今，一切都不同了，杨志明有了自己丰富的藏书，恨不得每天都扎在书海里钻研数学，从1991年至今，他在各种刊物上发表的论文近百篇。

　　“您平时有什么娱乐活动？”记者问。“猜想！”杨志明脱口而去，他笑称自己最喜欢的“娱乐”就是做别人做不出的题。最经典的例子是，他竟花了十年去解开一道不等式。

　　事情是这样的：1992年宁波大学陈计教授提出一个不等式猜想，当时业内很多人都觉得很难，几乎动不了手。面对这一难题，杨志明一有空就拿来看，后来干脆把不等式贴在桌面上，一有时间就做。直到1998年，他看了《数学奥林匹克大集1994》这本书，受到启发，找到解题的突破口。但是，由于最初的证明很浅，很快就被同行指出了漏洞，杨志明只好继续思考。

　　直到2003年的一天，缺失的那1%的灵感终于来了，杨志明把不等式解开了！后来，他将猜想过程写成论文，参加了第五届初等数学研究学术交流会，让业内人士深感佩服和赞叹。

　　杨志明订了十多种杂志，每拿到一本新的杂志，都会看里面有没有什么猜想题，杨志明说：“对我来说，猜想就是一种享受。”前几天刚到的《中学数学研究》上有四个猜想，杨老师只花了两小时就搞定了，内心的喜悦胜过买彩票中奖。

　　在广州，杨志明有很多数学界的朋友，经常聚在一起交流。如同文人以诗会友一般，数学界的朋友们喜欢以题会友，大家互相出题，乐在其中。

　　                     奥数是“奥数热”的替死鬼

　　2007年8月，杨志明来到广雅学校，还来不及适应广州的生活和环境，除了正常的教学，他还挑起了辅导数学竞赛的重担。学生是从三个年级挑选出来的数学尖子，每周六开讲3个小时。

　　两年后，广雅的数学竞赛成绩突飞猛进2009年广雅中学代表队勇夺第二届“丘成桐中学数学奖”全国总决赛优胜奖，2010年广雅中学代表队勇夺第三届“丘成桐中学数学奖”和第一届“丘成桐中学应用数学科学奖”全球总决赛的双铜奖，创造了南部赛区的历史最好成绩。这些成绩都与杨志明的指导分不开。

　　谈及现在高考取消对奥数竞赛获奖的加分，杨志明表示，其实即使不加分，还是有很多对数学有兴趣的学生会学奥数。目前各个大学的自主招生还是比较看重奥数竞赛，即使对升学没影响力，进入大学后，学校对竞赛获奖的同学还是有奖励的，奥赛在现实中还是有着市场。

　　至于奥数被异化为升学的工具，引发奥数热，遭到社会的“叫停”。杨志明认为，其实奥数只是一个替死鬼。“学习数学，就意味着解题，一道题目有难度，正是区分不同层次的学生的好题，而高考和奥赛，就是要区分不同层次的学生，因而难题备受各种命题者的青睐。”

　　杨志明说，事实上，奥数题和高考题之间，并没有截然的界限，恰好相反，它们相辅相成。高考题中有奥数题，奥数题中有高考题。例如，2008年广东高考理科压轴题，曾一字不改的作为2009年全国高中数学联赛一试中的第14题，而很多奥数题，常常作为全国各地高考试题中的压轴题。

　　“只要国际数学奥林匹克数学竞赛不被取消，奥赛就不会在我国真正消失。这正如奥运会一样，是人类进行共同交流的一种方式，错在将各种竞赛与升学和就业挂钩。”

              

    【学生眼中的他】很记得杨老师第一次在黑板上画圆，一气呵成，那个圆圆得毫无瑕疵，浑然天成，是名副其实的优美。那一刻，全班欢呼，投向他都是敬佩的眼神，但他只是微微一笑，谦虚地说，画圆画得好也与心情有关。

　　杨老师很低调，每当我们在课上为他的解题方法，他的幽默而鼓掌的时候，他总是微微挥挥手，一副不好意思的样子。他又是那么负责任。每次考试前，总是把题目写得满满一个黑板，期许的眼神让我知道他总是默默地关注我们。

　　【同事眼中的他】杨老师搬家的时候，我看到他用小拖车将一捆一捆的书籍搬到新家，这些都是他几十年一直都保存的数学书籍和期刊。这些书也随着杨老师从湖北来到广州，来到新安顿下来的家里，杨老师对这些书始终是不离不弃。

　　杨老师学术渊博，无论是与数学有关的人或事，杨老师都能够如数家珍，无论是多么复杂的题目，到杨老师那里都变成小菜一碟。记得学校请一位知名的竞赛专家给学生讲一道函数题时，专家突然忘了如何解，这时杨老师走上讲台轻松就解出来了。

　　文/羊城晚报记者 陈晓璇  实习生 喻澍                 （来源：羊城晚报 2012年10月17日 ）