对一批编号为1-100，全部开关朝上（开）的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号是哪些？

 

分析：就某个亮着的灯而言，如果拨其开关的次数是奇数次，那么，结果它一定是关着的。根据题意可知，号码为N的灯，拨开关的次数等于N的约数的个数，约数个数是奇数，则N一定是平方数。因为10^2=100，可知100以内共有10个平方数，即，最后关熄状态的灯共有10盏，编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

 

根据题目我们可以知道，号码为N的灯，拨开关的次数是等于N的约数的个数的。
要想使灯关闭，约数的个数应该是奇数。
而一般来说，任何一个数N都至少有两个约数：即1和N本身。
其他任何一个约数都是一一对应的（例如6的约数中2和3对应）。
也就是说，理论上来讲，每个数的约数的个数都应该是偶数。
只有一种例外的情况，即某数中两个互相对应的约数相等（例如4的约数中2的对应约数也为2）。
这样的数才能有奇数个约数。
也就是说，N必须是某数的平方数。
100以内最大的平方数为100，是10的平方。
最小的平方数为1，是1的平方。
那么100以内的平方数总共只能有10个，即
1^2=1,
2^2=4.
3^2=9
4^2=16
5^2=25
6^2=36
7^2=49
8^2=64
9^2=81
10^2=100
而这些平方数就是所求的编号数。