【第062题】“张大伯用36米长的篱笆，一边靠墙围成一个最大的四边形，这个四边形占地面积是多少平方米？”

【解题综述】此题的解答有四种不同的结论，具体分述如下：

结论一：用篱笆和墙围成一个正方形，36米长篱笆为正方形的三边长，四边形最大面积是（36/3）*（36/3）=12×12=144平方米。这个结论的充要条件是周长是定值。因为周长相等的四边形中正方形的面积最大。而实际情况如图（1）。四边形的周长为（36 +X）米，由于X的长是不确定的，由此可知，四边形周长的值也是不确定的，即长加宽的和不是定值，因此，四边形面积取最大值的充要条件不具备，即使长和宽相等，此时的四边形面积也不是最大。

结论二：围成一个长方形，其中与墙相对的边长18米，宽9米，此时四边形面积最大，最大值是18*9=162平方米。具体如图（2）。

不妨设长方形的宽为X米，则长为（36-2X）米，面积为：S=X*（36-2X）平方米。

方法一：S=X*（36-2X）=-2X^2+36X=-2(X-9)^2+162，即X=9时，S最大值为162平方米。

方法二：S=X*（36-2X）=1/2*2X*（36-2X），因为2X+（36-2X）=36，是一定值，要使S值最大，只有当2X=（36-2X），即X=9时，S最大值为162平方米。

显然，这两种方法所求的最值与准确值相差较大，但它却给我们提供了一些思路，可资借鉴。

方法一运用了二次函数求最值的方法，这已经用到初中知识。沿着这个思路继续探索，难度很大，很多教师此后未能再作突破。

方法二通过将宽扩大为原来的2倍，得到一个面积为原来长方形两倍的四边形，从而使长与宽的2倍的和为定值。当长与宽的2倍相等，即X=9米时，他们的乘积最大，于是可求出原长方形的最大面积。这种方法给我们提供了一种思路：能不能利用原有的四边形构造一个周长为定值的多边形，从而使问题迎刃而解呢？之所以未能继续探索，只作如是想，关键原因是受到思维定势的干扰。周长一定时，四边形中面积最大的是正方形，其一半一定是长方形。于是先入为主，首先想到最大的四边形一定是一个长方形，而不是其他的四边形，如梯形等，而问题恰恰就出在这里。随着思考的深入，有人开始在这方面作了一些探索，第三个结论不失为利用小学数学知识所作的一个有益的尝试。

结论三：如图（3），将靠墙这一边继续变长，围成一个等腰梯形，从上底两端引两条垂线。根据勾股定理，等腰梯形的上底16米，斜边10米，高8米，靠墙这一边是6+6+16=28米，四边形面积为：（16+28）×8÷2=176（平方米）。这个结果显然更接近准确值，但还不是最大准确值。

结论四：用篱笆围成一个底角为60度的等腰梯形，长底靠墙，短底和腰长均是12米，此时四边形面积最大，最大值为：（12＋24）×6 √3÷2＝108√3≈187平方米或1/2*12^2*sin60⁰=108√3平方米。

现在我们尝试利用结论二的方法二来作进一步的探索：怎样利用原来的四边形构造一个多边形，使其周长成为定值？我们可以通过将四边形围绕轴L作镜面反射，射影部分与原四边形共同构成一个新的多边形，因为AB+BC+CD=36米，所以新多边形的周长是36*2=72米，是定值。我们不妨假设四边形ABCD即是所求的四边形，将ABCD以L（墙）为轴作镜面反射，得到一个多边形ABCDC'B'。如下图，线段AB，CD与直线L的关系有三种情况：

两条均与L垂直、只有一条与L垂直、两条均与L不垂直，所得的就是四边形、五边形或六边形。由于ABCD是面积最大的四边形，所以ABCDC'B'就是周长为72米的面积最大的四边形、五边形或六边形。而在周长相等的多边形中，正多边形面积最大，因此，ABCDC'B'就是正方形、正五边形或正六边形。在周长相等的这三种正多边形中，正六边形面积最大，即ABCDC'B'为正六边形。此时等腰梯形ABCD的面积最大，如下图，最大值是108√3平方米。