第一讲  等差数列

    在四年级我们已研究过高斯求和问题，聪明的高斯善于观察、分析，发现了等差数列求和的规律。这讲我们研究等差数列的有关知识。

    1、定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项（通常用a₁示），又叫首项；第二个数叫做第二项（通常用a₂示）；……；最后一个数叫做末项（通常用a_n示）。如果这个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都相等，称这个数列为等差数列，后项减前项的差叫做公差（通常用d表示）。如：（1）2、5、8、11、14、……；（2）1、5、9、13、17、……等都是等差数列。

2、公式：

（1）和=（首项+末项）×项数÷2       [S=（a₁+a_n）×n÷2]

（2）末项=首项+（项数-1）×公差      [a_n= a₁+（n-1）×d]

（3）项数=（末项-首项）÷公差+1       [n =（a_n - a₁）÷d +1]

（4）首项=末项-（项数-1）×公差       [a₁= a_n-（n-1）×d]

利用这些公式，可以解决等差数列中的许多问题。

【例题解析】

例1 求2、5、8、11、14、……的第12项和第50项。

分析与解  在这个等差数列中， a₁=2， d =3， n=12，n=50,可以直接用公式求出：

a₁₂= = a₁+（12-1）×d=2+11×=35

a₅₀ = a₁+（50-1）×d=2+49×3=149

【边学边练】求数列1、5、9、13、17、……的第25项和第100项。

例2 在等差数列3、7、11、15、19、……中，123是第几项？

分析与解  在这个等差数列中， a₁=2， d =3， a_n=123,可以直接用公式求出：

n =（a_n - a₁）÷d +1=( 123 -3）÷4 +1=31

【边学边练】在等差数列2、7、12、17、22、……中，1002是第几项？

例3 计算6+13+20+27+34+…+335

分析与解  6+13+20+27+34+…+335中的所有加数呈等差数列排列，其中a₁=6， d =7， a_n=335,要想求和，必先求出项数：

n =（a_n - a₁）÷d +1=(335 -6）÷7 +1=50

S=（a₁+a_n）×n÷2=（6+335）×50÷2=8525

【边学边练】求等差数列1、5、9、13、17、……、125的所有各项的和。

例4 某电影院有30排座位，后面一排比前面一排多2个座位，最后一排有78个座位，这个电影院最多可以坐多少人？

分析与解  由于后面一排比前面一排多2个座位，于是有a₁、a₂ 、a₃、…、74、76、78是等差数列， 其中a₃₀=78， d =2， n=30,要想求和，必先求出首项。

a₁= a_n-（n-1）×d =78-（30-1）×2=20

S=（a₁+a₃₀）×n÷2=（20+78）×30÷2=1470（个）

【边学边练】小星读一本故事书，第一天读了12页，以后每天都比前一天多读6页，最后一天读了54页。这本书他一共读了多少天？这本书共有多少页？

例5 按一定规律排列的算式：4+2、5+8、6+14、7+20、……，那么第100个算式是什么？

分析与解  这个数列里的每一项都是由两个加数组成，分别观察这两个加数：

第一个加数排列成等差数列：4、5、6、7、……，a₁₀₀=4+（100-1）×1=103；

第二个加数排列成等差数列：2、8、14、20、……，a₁₀₀=2+（100-1）×6=596；

所以第100项为103+596。

【边学边练】右面的算式是按一定规律排列的：4+3,6+6,8+9,10+12,…

那么第100个算式的得数是多少?

【相关链接】

特殊的求和公式

1²+2²+3²+4²+5²+……+n²=n×(n+1) ×(2n+1) ÷6

1³+2³+3³+4³+……+n³=(1+2+3+4+……+n)²

利用公式计算：1²+2²+3²+4²+5²+……+10²=？    1³+2³+3³+4³+5³=？

【课外拓展】

1、图中是一个堆放铅笔的V形架,如果最上面一层放60支铅笔.问一共有多少支铅笔?

2、求193+187+181+…+103的值.

3、某市举行数学竞赛,比赛前规定,前15名可以获奖,比赛结果第一名1人;第二名并列2人;第三名并列3人;……;第十五名并列15人。得奖的一共有多少人?

4、一个剧场设置了20排座位,第一排有38个座位,往后每一排都比前一排多2个座位.这个剧场一共设置了多少个座位?

5、下面是一列有规律排列的数组:

(1,1/2,/3)；(1/4,1/5,1/6)； (1/7,1/8,1/9)；……。第100个数组内三个分数分母的和是多少？

6、有一串数排列如下,第100行的第四个数是多少？

             1, 2            

          3, 4, 5, 6

       7, 8, 9,10,11,12

    13,14,15,16,17,18,19,20

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【走进赛题】：

1、数列3、6、9、12、15、……、303是一个等差数列，这等差数列中所有的数的和是多少？（2003年“小学生数学报杯”数学竞赛试题）

2、一个物体从空中落下来，经过4秒落地，已知第一秒钟下落4.9米，以后每一秒下落的距离都比前一秒多9.8米，这个物体在下落前距地面多少米？（2003年首届创新杯模拟试题）

3、计算：（1+1.2）+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+(4+1.2×4)+……+（99+1.2×99）+

（100+1.2×100）(吉林省第七届小学数学竞赛题)           

4、把50棵树按整米的距离种在公路的两旁，要求每行所种的树的距离不同。则这些树最少种在多少米长的公路上？（2002年开平市小学数学竞赛题）

【拓展练习】：

1、1830   2、2368   3、120    4、1140   5、897   6、9904                             

【走进赛题】：

1、15453    2、78.4米   3、11110   4、300米