在数学中，“数”与“形”就像一对形影不离的亲兄弟。几乎所有的数量关系或数学规律都可以用生动形象的示意图来反映。比如，我们在《找规律》中，曾经总结出这样的规律：

      1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n²

    这个公式表示：从1开始的n个连续奇数相加，所得的和一定是n²。这条规律也可用图7-1来表示：

    再比如，（a+b）²=a²+2ab+b²这个公式也可以用图7-2表示：

“数”与“形”之间存在的这种密不可分的关系，对我们解数学题很有启发。当数学题中的数量关系式所包含的规律比较隐蔽、不容易理解时，应当恰当地画出示意图。

【例1】A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘？

【分析与解】根据“A已经赛了4盘”这个条件，可画出图7-3；再根据“B赛了3盘、C赛了2盘、D赛了1盘”，可画出图7-4。

　

　　从图7-4上很容易看出：小青赛了2盘。

【例2】学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁。”那么，这位老师今年有多少岁。

【分析与解】用A-、A、A+分别表示学生过去、现在、将来的年龄，用B-、B、B+分别表示老师过去、现在、将来的年龄。这样，老师所说的两句话（数量关系）就可用图7-5来表示：

　

　　从图中可以看出

　　（B+-A+）+（B-A）+（B--A-）=39-3

　　由于两个人的年龄差保持不变，所以

　　B+-A+=B-A=B--A-

　　这样，就得到

　　（B-A）×3=39-3

　　B-A=12

　　A=B-=3+12=15（岁）

　　B=A+12=15+12=27（岁）

　　也就是说，老师今年27岁。

在分析一些复杂的行程问题时，画示意图的作用就更大了。

【例3】甲、乙两辆汽车同时从 A、B两地相向而行。第一次相遇时离A地50千米，相遇后继续按原速度行完全程，到B、A后返回，第二次相遇时离B地25千米。求A、B两地的距离。

【分析与解】解这道题如果从路程、速度、时间的关系去分析，就会感到条件不足。现在我们从整体来分析：两车同时出发，第一次相遇时，它们一共行了A、B两地的1个全程；两车从出发到第二次相遇，合行了3个A、B两地的全程。这个重要的隐蔽条件从图7-6中才能更容易发现。

　

由于两车合行的“1个全程”中，甲车所行的路程是50千米，那么当两车从开始出发到第二次相遇这个过程（合行了“3个全程”）中，甲车共行的路程就是：

　　50 × 3=150（千米）

这时，甲车到达B地后已返回25千米。所以，A、B两地的距离是：

　　50×3-25=125（千米）

【例4】建国路小学五、六年级同学去参观科技展览，346人排成两路纵队，相邻两排前后各相距0.5米，队伍每分钟走65米。现在要过一座长889米的桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需要多少分钟？

【分析与解】要求从排头两人上桥到排尾两人离桥共用多少分钟，必须用“队伍过桥所走的路程÷队伍过桥的速度”。队伍过桥走的路程是多少米呢？为了解决这个问题，我们可先画出示意图（图中“●”表示排头，“○”表示排尾）：由于队伍本身有一定的长度，所以“队伍过桥所走的路程”可看作“排头从B点到D点或者排尾从C点到A点所走的路程”。从图上看，这个“路程”应该等于“桥长+队伍的长”。

　

根据“346人排成两路纵队”，可知每个纵队的人数是“346÷2=173”人。由于排头站了1人，所以173人把队伍分为“173-1”等份，由“相邻两排前后各相距0.5米”，可知每等份长0.5米，所以队伍的长度应为“0.5×（173-1）=86”米。

　　队伍通过大桥共用去的时间是：

　　[889+0.5×（346÷2-1）]÷65=15（分）

　　

　　几？

　　

格，乙数代表9个空格，所以

　

　

　

【例6】某班语文、算术、外语三门功课期中考试成绩统计结果：语文、算术、外语得100分的同学分别有14人、12人、10人，语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学均各有5人，语文、外语两门都得100分的同学有4人，班上有3名同学三门都得了100分。根据上面统计数据，算一算，至少有一门得100分的有几名同学？　

【分析与解】如图7-10，我们用A、B、C三个圆圈来分别表示语文、算术、外语得100分的同学。那么语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学就是A、B的公共部分和B、C的公共部分，A、C的公共部分就是语文、外语两门都得100分的同学，A、B、C三圆圈的公共部分表示三门都得100分的同学。题目所要求的“至少有一门得100分”的同学的人数，相当于求A、B、C三个圆实际所盖住的面积。为了求这个面积，我们可把它分成彼此不重叠的7个部分——S₁，S₂，S₃，S₄，S₅，S₆，S₇（如图 7-11）：

从图中可知：

　　A+B+C=（S₁+S₂+S₃+S₄）+（S₂+S₃+S₅+S₆）+（S₃+S₄+S₆+S₇）

　　=（S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+S₆+S₇）+（S₂+S₃）+（S₃+S₆）+（S₃+S₄）-S₃

把已知条件中的14，12，10，4，5，5，3代到上面式中，可得到“至少有一门得100分”的人数是：

　　14+12+10-4-5-5+3=25（名）　

【思考题】

　　

　　[提示：用正方形（图 7-12）表示“ 1”。]

　

　　

　[提示：仿照例5，先推出乙数是甲数的几分之几。]

3.一个袋中装有若干红色与蓝色的弹子。如果取出1粒红弹子，那么剩余弹子的七分之一是红色的；如果不是取出1粒红弹子，而是取出2粒蓝弹子，那么剩余弹子的五分之一是红色的。袋中原来装有多少粒弹子？

　　[提示：先根据题意画出图7-13。]

4.一个班有42名学生，其中有32人订《小学生数学报》，27人订《中国少年报》，每个同学至少订这两种报纸中的一种。问这两种报纸都订的同学有多少人？[提示：模仿例6。]

5.在两条垂直相交的公路上，甲由南向北走，乙由西向东走。甲出发地点在两条公路交叉点南1120米。乙出发地点在交叉点。甲、乙同时出发4分钟后，两人所在位置与交叉点距离相等，再经过52分钟，两人所在位置又与交叉点距离相等。甲、乙两人每分钟各走多少米？

[提示：根据题意，画出图7-14：图中O点为两条公路的交叉点。在4分钟内，甲走完AB这段路，乙走完OC这段路。因为OC=OB，所以，甲、乙两人在4分钟内一共走完了AO（= AB+OB）这段路。这样，我们可求出甲、乙两人的速度和为每分钟

1120÷4=280（米）

再经过52分钟，甲走完了BE这段路，乙走完了CD这段路。如果连同前4分钟算在内，在56分钟内，甲比乙多行的路为：

　　AE-OD

　　=AE-OE

　　=AO

这样又可求出甲、乙两人的速度差为每分钟

1120÷（4+52）=20（米）

现在，我们把问题转化成一个“和差问题”了。]