用割尾法判定百以内的质数的整除性

                              湖北省团风县上巴河镇中心学校  陈文胜

 

内容摘要：

    我们已经知道，一个正整数能否被2、3、5、7、11、13整除，有如下的判断方法：能被2、5整除的数的特征是末尾数能被2、5整除，能被3整除的数的特征是各位数字之和能被3整除；能被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位数之和的差能被11整除；我们还知道，一个数如果末三位数与前面的数的差的绝对值能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。

    这些数的整除性的判定方法，为我们判定百以内的质数的整除性提供了方法和依据。我们知道任意一个大于10的自然数可以用公式N=10X+Y（X≥1,0≤Y＜10的自然数）来表示，我们把Y叫做尾数，即个位数，把X叫做割尾数。本文从百以内的质数的用割尾法判定方法进行探求与证明，采用了从特殊到一般又到特殊的方式进行探索，从尾数是1到不是1，从而推广到百以内的所有质数的规律，最后还列举了割尾法的应用。

 

关键词：割尾法  尾数  质数  判定  整除  造“1”法  应用

 

 

 用割尾法判定百以内的质数的整除性

 

    我们已经知道，一个正整数能否被2、3、5、7、11、13整除，有如下的判断方法：能被2、5整除的数的特征是末尾数能被2、5整除，能被3整除的数的特征是各位数字之和能被3整除；能被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位数之和的差能被11整除；我们还知道，一个数如果末三位数与前面的数的差的绝对值能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。

    这些数的整除性的判定方法，为我们判定百以内的质数的整除性提供了方法和依据。下面我们来研究百以内质数的整除性。

    我们把百以内的质数分为三类：

   （1）2、5

   （2）尾数是1的质数：11、31、41、61、71

   （3）尾数不是1的质数：3、7、13、17、19、23、29、37、43、47、53、59、67、73、79、83、89、97

    对于（1）类得质数的整除性不适于也不需要我们用我们研究的质数的整除性的判定方法进行判定。

 

一、质数判定方法的探求与验证

   1、 第（2）类质数：尾数是1的质数

    我们知道任意一个大于10的自然数可以用公式N=10X+Y（X≥1,0≤Y＜10的自然数）来表示,为了叙述的方便，我们把Y叫做尾数，即个位数，把X叫做割尾数。

   首先看31这个质数的一些倍数：

    31、62、93、124、155、186、217、248、279、310、341、372、403、434、465、496、527、558…….

   从上面的一些数字来看，割尾数与尾数的3倍之差能被31整除，反过来说，割尾数与尾数的3倍之差能被31整除，那么这个数就能被31整除，我们把这种判定方法叫割尾法判定质数的整除性。

   为了判定这个规律成了与否？我们设数Ｎ的尾数为Ｙ，割尾数为Ｘ，则Ｎ=10X+Y（X≥1,0≤Y＜10的自然数），割尾数与尾数的３倍之差为Ｘ－３Ｙ，如果３１∣Ｘ－３Ｙ，则３１∣Ｎ。

   因：３１∣Ｘ－３Ｙ，则Ｘ＝３１Ｋ＋３Ｙ（Ｋ为自然数）

    Ｎ=10X+Y

   　＝１０（３１Ｋ＋３Ｙ）＋Ｙ

　   ＝１０×３１Ｋ＋１０×３Ｙ＋Ｙ

   　＝３１×１０Ｋ＋３１Ｙ

   　＝３１×（１０Ｋ＋１）

    由此可知：３１∣Ｎ成立。

   这就是说，能被３１整除的数的特征是割尾数与尾数的３倍之差能被３１整除。

   我们可以反复利用这一特征来判定任意自然数能否被３１整除。例如；４５８３９７能否被３１整除。

   第一次：４５８３９－２１＝４５８１８（不易判定）

   第二次：４５８１－２４＝４５５７　　（继续）

   第三次：４５５－２１＝４３４　

   第四次：４３－１２＝３１（能被３１整除）

   故３１∣４５８３９７

 

    现在我们来研究其他尾数是１的质数的整除性。设Ｎ=10X+Y（X≥1,0≤Y＜10的自然数），如果１０a+1∣X－aY,则10a+1∣Ｎ

   因１０a+1∣X－aY，则Ｘ＝（１０a+1）Ｋ＋ａY    （K为自然数）

   于是N=10X+Y

        =10×[（１０a+1）Ｋ＋ａY]+ Y

        =10K.（１０a+1）+10aY+Ｙ

　　　  ＝１０K（１０a+1）+（１０a+1）Y

        =（１０a+1）(10K+1)

    故：１０a+1∣N

    这就是说，对于任意自然数能否被尾数是1的质数的整除性均可以用割尾法进行判定其整除性。我们把这种判定质数的整除性的方法叫做割尾法判定。

 

2、 尾数不是1的质数的整除性的判定

     我们知道所有质数（除2外）都属于奇数，尾数为3的质数扩大7倍就变成21，即是变为尾数为1的合数，尾数为7的质数扩大3倍就变成21，即是变为尾数为1的合数，尾数为9的质数扩大9倍就变成81，即是变为尾数为1的合数。

    我们根据以上原理可以把尾数不是1的质数通过以上方法变成尾数为1的合数来判定，根据整除性的传递规律就可以判定尾数不是1的质数的整除性，我们把以上的方法判定尾数的整除性叫“造1法”。

    我们把百以内的质数尾数是3的质数都扩大7倍，尾数是7的质数扩大3倍，尾数是9的质数扩大9倍，再根据１０a+1∣A，若X－aY∣A，则10X+Y∣A，

例如;判定17的整除性，只要17×3=51，若X－5Y∣A，则10X+Y∣A

     判定13的整除性，只要13×7=91，若X－9Y∣A，则10X+Y∣A

     判定9的整除性，只要19×9=171，若X－17Y∣A，则10X+Y∣A

应用举例：3245能否被13、17、19整除

      324－5×5=319   31－5×9=-14      不能被17整除

      324－5×9=289   28－9×9=-53      不能被13整除

      324－5×17=239   31－17×9=-140   不能被19整除

这说明 3245不含质因数13、17、19。

 

    但造1法使得有些质数的系数过大，给计算带来了极大的不便，还可以另作方法分析，去研究质数本身割尾数与尾数之间的关系。以19为例：

19=（1+9×2）×1

38=（3+8×2）×2

57=（5+7×2）×3

76=（7+6×2）×4

       95=（9+5×2）×5    …..

   根据数学归纳法我们可以得出19的倍数可以用A=10X+Y=（X+2Y）×K来表示，要判定一个数能否被19整除，只要判定19∣X+2Y，

    设X+2Y=19ｂ（ｂ∈ｚ）由此Ｘ＝19ｂ－2Y

           A=10X+Y＝１０×（19ｂ－2Y）＋Ｙ

　　　          　＝１９×１０ｂ－１９Ｙ

　　　          　＝１９×（１０ｂ－１）

    由此可得：１９∣X+2Y，，则１９∣X+2Y，这就是说，能被１９整除的数的特征是割尾数与尾数的２倍之和能被１９整除。

     例如：判定１２３４５６７能被１９整除，只作

        １２３４５６＋１４＝１２３４７０

         １２３４＋１４＝１２４８

         １２４＋１６＝１４０

             １４

      故不能被１９整除。

 

二、百以内质数的判定方法

.根据以上方法的探求和调整,我们对百以内的质数作如下规律判定：设Ｎ=10X+Y

若3∣X-2Y，则3∣N

7∣X-2Y，则7∣N

11∣X-Y，则11∣N

1３∣X-９Y，则1３∣N

17∣X-5Y，则17∣N

19∣X+2Y，则19∣N

23∣X+7Y，则23∣N

29∣X+3Y，则29∣N

31∣X-3Y，则31∣N

37∣X-11Y，则37∣N

41∣X-4Y，则41∣N

47∣X-14Y，则47∣N

53∣X+16Y，则53∣N

59∣X+6Y，则59∣N

61∣X-6Y，则61∣N

67∣X-20Y，则67∣N

71∣X-7Y，则71∣N

73∣X+22Y，则73∣N

79∣X+8Y，则79∣N

83∣X+25Y，则83∣N

89∣X+9Y，则89∣N

23∣X+7Y，则23∣N

97∣X-29Y，则97∣N

三、割尾法判定方法的应用

 

1、割尾数在质数判定其整除性有很大的用途，可以快速判定一个数是不是质数。例如431是不是质数。

（1）       开平方根约整数：20

（2）       用20以内的质数判定：3、7、11、13、17、19

（3）       逐一检验：43－２×１＝４１　　 不能被３、７整除

                 43－１＝４２　　　　   不能被１１整除

　　　　　　　４３－９×１＝３４　　　  不能被１３整除

　　　　　　　４３－５×１＝３８　　　　不能被１７整除

　　　　　　　　４３＋２×１＝４５　　　　不能被１９整除

综上所述，４３１是质数．经查质数表，４３１是质数．

 

　2、割尾数还可以分解质因数．例如分解７６７

（１）   开平方根约整数：２７

（２）   用２７以内的质数判定：3、7、11、13、17、19  ２３

（３）   计算:

        76－２×７＝６２　　不能被３、7整除，不含有3、7

        76－1×７＝６9　　不能被11整除，不含有11

        76－9×７＝13　　能被13整除，含有13

        故767=13×59

 

 

 

 

 

 

主要参考文献：

1、中国教育学会中学数学专业委员会：《面向二十一世纪的数学教育》，浙江教育出版社，1997年5月第一版。

2、G．H哈代：《科学家的辩白》，江苏人民出版社，1999年11月第1版。

3、李淑文：《中学数学教学概论》，中央广播电视大学出版社，2003年1月第一版。