由爱米特-林德曼定理可以推出：超越数的个数比代数数多得多。但在科学中最著名、最用得多的却是圆周率π和欧拉数e。

1. 圆周率π

由中学数学里知道，单位圆的周长，可以定义为当边数增加时，正多边形周长的序列的极限。这样确定的周长记为2π，更精确些说，如果p_n记内接正n变形的边长，q_n记外切正n边形的边长，那么p_n＜2π＜q_n。并且，当n增加时，序列p_n，q_n都单调趋近2π，所以，我们在用p_n或q_n逼近2π时，每走一步，都得到一个更小的误差界限。

π在历史上并没有不变的名称，如国外曾叫鲁道夫数，在我国曾叫祖率、环率、圆率等。1706年，英国数学家琼斯首先正式用π表示圆周率，从此，人们就用π表示圆周率了。

最先给出π实用而较准确的值3.14的是希腊学者阿基米德（公元前240年左右），最先给出π小数后四位准确值的是希腊人托勒玫（公元前150年左右），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（480年左右），1610年，荷兰籍德国数学家鲁道夫花费了毕生精力把π算到了小数后35位，从而使自己长眠于刻有36位π值的墓碑下。当然，现代计算机已能将π算到任意多位了。

证明π是超越数经历了漫长的岁月，最后与三大难题中的末一个同时得到解决。三大古典难题自公元前六至四世纪难倒希腊人，进而困扰人类二千多年，在十九世纪才解决。最后解决的是“化圆为方”。在尺规作图题中，如要经过无数次作图，那这个作图就是不可能。“化圆为方”要牵涉π这个超越数，必然要无数次作图，因而是不可能的。所以问题的关键是：证明π是超越数。1767年德国数学家兰伯特首先证明了π是无理数；1794年，勒让德在证明π²是无理数的同时，首先猜测π可能是超越数，但距证明π是超越数既只有一步之近却又有一步之遥。最先在原则上解决“化圆为方”和这类问题的是法国数学家伽罗瓦。他1830年19岁就提出了解决这类问题的系统理论和方法，按其理论和方法，三大难题及这类问题，只不过是一些推论或习题。不过，伽罗瓦没能彻底解决“化圆为方”，因为他的理论要解决这一问题必须证明π是超越数。直到1882年，即他的理论建立后52年才由德国数学家林德曼给出了π是超越数的严格证明。

2. 欧拉数e

 e作为数学符号最先是欧拉在1727年使用的，后来，人们又确定用e做自然对数的底来纪念他。最先猜测e是超越数的是法国数学家刘维尔；而证明e是超越数的，首先是法国数学家爱米特。（分别于1844年和1873年）

为什么以e为底的对数叫做自然对数呢？这是由于：反映自然界规律的函数关系，若是以指数形式或对数形式出现的，必定是而且只是以e为底的。同时，正因为如此，e在自然科学中的作用，并不亚于π。如，原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或地球年龄时要用e，在用齐奥尔科夫斯基公式算火箭速度时又要用e，甚至算储蓄最优利息及生物增殖问题时用复利率，也要用e。

用e作底有许多好处。如，以e为底编制对数表最好（要以10或他数作底，只须乘以变换模即可），这是在牛顿-莱布尼兹奠定了微积分基础后人们才清醒地认识到的真理。又如，以e为底时，微积分公式具有最简洁的形式；简言之，用任何除1以外的正数为底的函数做微积分运算后，都会出现以e为底的函数。

有趣的是，e和π虽不能用有限的式子表示出来，但却可有多种方法用无穷级数表示。