1. 如何叙述结合律、交换律、分配律？

当数学学习进入初中阶段，我们开始使用抽象的字母符号表示数字，这对于教师和学生，都是一个挑战。毫无疑问，我们需要彻底了解运算的逻辑法则及基础。

加法和乘法，并不是人们的随意为之，需要依据11个基本定律。在教学过程中，结合律、交换律、分配律被再次提出。相比于生硬地直接给出这些定律，我们应当利用一些明显的数字例子加以说明。比如加法结合律，我们可以用(127＋389) ＋111＝127＋(389＋111) ＝627加以说明；又如分配律15×108＝15×(100＋8) ＝15×100＋15×8＝1620加以说明。

2. 为什么做乘法时“负负得正”？

我想这是很多学生在学习时很困惑的一个问题，为什么两个负数相乘就是正数了。书中给出了一种误导性的证明方法。通过画图，我们得到(a－b)(c－d) ＝ac－ad－bc＋bd，当a＝c＝0时，我们得到了(－b)(－d) ＝bd。但事实上，推导过程完全忽略了这个公式成立的先决条件a＞b，c＞d。

通过一些现实模型，我们可以解释这个问题，比如著名的负债问题。假设一人每天欠债5美元，给定日期的3天后欠债15美元。如果将5美元的债记成－5，那么每天欠债5美元欠债3天可以用数学来表达：3×(－5)＝－15。同样一人每天欠债5美元，那么给定日期的3天前，他的财产比给定的日期的财产多15美元，如果我们用－3表示3天前，用－5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况可表示为：(－3）×(－5)＝15。

另外，我们也可以直接运用基本定律加以证明。方法如下：

(－1)×(－1)=(－1)×(－1)＋0×(－1)

=(－1)×(－1)＋[(－1)＋1]×1

=(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×1

=(－1) ×(－1＋1)＋1

=1

3. 为什么数轴上的点和实数一一对应？

这个问题同样是学生非常困惑的。七年级数学教材是这样说的：“数轴上的任意一个点都表示一个实数，而且任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，所以说数轴上的点与实数是一一对应的。”

首先，这种说法的前半句尤其让我们疑惑，似乎已经将实数默认为了数轴上的所有数，那为什么数轴上就只有有理数和无理数呢？另外，对于“任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示”，我也存在一些疑问。诸如√2、√3容易在数轴上表示，但另外一些毫无规律可循的无理数呢？

对于这个问题，似乎很难用初等数学的知识加以解释。所以，我们可以把这个知识点当成一个公理性的常识，不必深究。