1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系
1.1自然数的1次幂的求和
即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/2
1.2自然数的2次与二次以上幂的求和
s=1n+2n+3n+...+Nn(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。
当n为奇数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:
2s=Nn+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+Nn
=Nn+Nn+Nn+...+Nn加或减去所有添加的二项式展开式数
=(1+N)Nn减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:
2s=Nn+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+Nn
=2Nn+2[(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数
又当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:
2s=[Nn+1n]+[(N-1)n+2n]+[(N-2)n+3n]+...+[(N-N-1)n+(N-1)n]
=2[(N-1)n+(N-3)n+(N-5)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1的计算公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。
1.2.1自然数的2次幂的求和
自然数的2次幂的求和是自然数的二次以上幂的求和公式推导的基础，它是自然数偶数次幂的开始和代表。
命s=12+22+32+…+N2,则有
2s=(N2+12)+[(N-1)2+22]+(N-2)2+32]+…+{[N-(N-1)]2+N2}
=(N-1)2+2N+(N-3)2+2×2(N-1)+(N-5)2+2×3(N-2) +…+(N-1)2+2N
[N-(N-1)]
=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0](其中N为偶数时取1,N为奇数时取0)
+2N+2×2(N-1)+2×3(N-2)+…+2N [N-(N-1)]
=
2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]
+2N(1+2+3+…+N)-2[2×1+3×2+…+N (N-1)]
=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)
-2[1-1+2×(2-1)+3×(3-1)+…+N (N-1)]
=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)
-2(1+22+32+…+N2-1-2-3-…-N)
即4s=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)+N(1+N)……………………………….(1)
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