九宫格是一个著名数字游戏，在小学阶段，常用来激发学生学习数学的兴趣。经过初高中阶段的学习，回头看巧填九宫格数字游戏，可以发现一些规律，本文将这些规律总结出来与众人分享。在此基础上，我们可以举一反三，得到许多有趣的结论。下面就来介绍一下填写过程和从中总结得到的一些规律。

九宫格问题

将1－9九个数字分别填入下面的空格中，使每一行，每一列，每一对角线的三个数字之和都相等。 

九宫格填写过程主要有以下步骤。

第1步首先计算每行数字之和。

1－9九个数字之和：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45

九宫格共有三行，并且每行的数字之和相等，因此45¸3＝15，即每行数字之和为15。

第2步计算中间格的数字。

考虑第2行，第2列，和2条对角线的数字之和。它们的总和为 15´4 ＝ 60。在它们的总和中，中间格子的数字出现了4次，其它位置格子的数字都出现了而且仅出现了1次。

所以，它们的总和＝（4×中间格子的数字）＋（其它8个数字）

                ＝（3×中间格子的数字）＋（1－9九个数字之和）

因此， 60＝3×中间格子的数字＋45，中间格子的数字等于5

第3步，奇数不能出现在4个角上的格子里。

比如，如果数字9出现在角上的格子里，那么为了保证9所在行或所在列的数字和为15，必须需要4个数字，两两之和必须为6。1，2，3，4，6，7，8中，只有2和4组成和为6的数字对，找到第2个和为6的数字对是不可能的。因此，数字9不能出现在4个角上的格子里。

同样道理，1，3，7也不能出现在4个角上的格子里。

第4步，2，4，6，8必须填在4个角上的格子里，并且保证对角线数字和为15。

第5步，将1，3，7，9填入相应的格子里就完成了九宫格填数字任务，注意和为15的条件。 

完成了填九宫格的任务后，我们进一步考虑，如果上面九宫格内所有数字都加数字1会发生什么呢？即可不可以用数字2，3，4，5，6，7，8，9，10填九宫格，得到每一行，每一列，每一对角线的三个数字之和都相等的新九宫格呢。 

显而易见，上面九宫格每行每列每对角线数字之和为18，奇数3，5，7，9处在4个角上的格子里，中间数6处在中间的格子里。

从1－9和2－10各九个数字所填充的九宫格可以得出下列规律：

1）九个数字是由9个相连的整数构成的。

2）九个数字中正中间的数字填在九宫格的中间格子里。1－9中的5，2-10中的6等。

3）每行每列的数字和等于中间数字的三倍。比如15＝5´3和18=6´3。

4）第2，4，6，8位的数字填充到4个角上的格子里。如2，3，4，5，6，7，8，9，10中的3，5，7，9和1，2，3，4，5，6，7，8，9中的2，4，6，8。

总结出上述规律后，有关九宫格的问题变简单了。如，已知9个相连的整数填充的九宫格其每行数字和为45，求这九个数字。中间格数字为45¸3＝15，15为正中间的数字，因此九个数字为11，12，13，14，15，16，17，18，19。

又如，已知9个相连的整数填充的九宫格其每行数字和为96，求九宫格4个角上格子里的数。96¸3＝32，得到九个数字为28，29，30，31，32，33，34，35，36。4个角上的数字为29，31，33，35，其中35和29为对角关系，31和33为对角关系。

学习了等差数列的概念后，我们知道1，2，3，4，5，6，7，8，9是公差为1的等差数列，公差为d的等差数列是否也成立呢？比如公差为3的等差数列，1，4，7，10，13，16，19，22，25，如何填九宫格呢。实际上，规则是一样的，中间数字13的3倍39为每行数字之和，13填在中间格子里，在此基础上，我们的思路就更加开阔了。例如九个整数填充的九宫格其每行每列每对角线数字和为45，求这九个数字。首先确定中间的数字，45¸3＝15。则45－4d，45－3d，45－2d，45－d，45，45＋d，45＋2d，45＋3d，45＋4d的数字都满足要求，d为整数（不为0）。如d＝10，则为5，15，25，35，45，55，65，75，85。

古人说，“学贵有疑。小疑则小进，大疑则大进”。在学习中，我们要注意归纳和演绎能力的培养，总结一些规律，不但增加了学习的有效性和趣味性，对理解和掌握有关问题也很有益处。培育创新型人才既是学校和老师的责任，也是我们学生要刻意磨练的目标。本文通过详解九宫格问题，得到了一些有意义的结论和规律，而这些规律的获得使我们对九宫格问题也有了更加深入的认识。