《多边形面积计算的复习》教学设计

一、教学目标：

1、进一步理解并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，能应用公式计算这些图形的面积，并解决一些简单的实际问题。

2、通过回忆、交流，将“多边形的面积”这个单元所学的知识进行系统复习，形成完整知识体系；结合练习，加深对所学知识的理解，提高应用所学知识解决实际问题的能力。

3、感受复习的必要性与重要性，逐步形成学生自己整理所学知识的意识和良好的学习习惯。

二、教学重难点：归纳整理本单元所学的面积公式，能正确应用这些面积公式解决实际问题。

三、教学准备：多媒体课件，作业纸，多边形

四、教学环节：

一、回忆旧知

1、回忆学习过的多边形。（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）

师：同学们，前段时间我们学习了《多边形的面积》，俗话说“温故而知新”，今天这节课我们就一起将《多边形的面积》进行系统的整理与复习。

（教师指名学生回答，并根据回答将多边形粘贴在黑板上）

2、回忆多边形的面积。

师：我们学习了这么多的多边形，那他们的面积是怎么计算的呢？能不能挑一个你最喜欢的来说一说。

（教师指名学生回答，并将计算公式板书，写在相应图形下面）

【评析：教学中，不是由教师直接给出面积公式的复习内容，让学习被动接受。而是大胆放手，让学生自主回忆己学过的多边形面积公式予以汇报、展示成果。尊重学生的需要，尊重学生的主体地位。】

二、探讨面积公式的推导及知识间的联系。

1、探讨平行四边形、三角形、梯形面积之间的联系。

师：我们在三年级的时候学习了长方形和正方形的面积，现在我们主要来探究平行四边形、三角形、梯形面积之间的联系。

问题a：请仔细观察平行四边形、三角形、梯形面积的计算公式，它们有什么相同点？（都要乘高）

问题b：三角形和梯形面积的计算有什么相同点？（都要除以2）

问题c：三角形面积的计算为什么要除以2？

学生回答说：因为两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。此时，当学生说道这个点的时候，教师就邀请这位同学到台前来拼一拼，并且要他说一说，拼成的三角形和平行四边形有什么联系。

（三角形和拼成的平行四边形是等底等高，拼成的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，三角形的面积是拼成平行四边形面积的二分之一）

问题d：梯形面积的计算为什么要除以2？（方法同问题c）

2、建构多边形面积计算的结构图，体会新旧知识间的密切联系。

师：现在，我想研究平行四边形、三角形和梯形的面积，你首先会选择哪个图形来进行研究呢？

此处，大部分学生都会选择平行四边形，教师根据学生的回答，将平行四边形粘贴在黑板上，并追问为什么？学生会说，因为三角形和梯形的面积都是根据平行四边形的面积推导出来的。教师根据学生的回答将三角形和梯形也粘贴出来，并打上箭头，表示推导过程。（如下图）

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师：老师这里还有一个长方形和一个正方形，你觉得摆在上面位置好呢？你能不 能像老师一样来摆一摆，并标上箭头呢？（学生上台操作，并说明理由）

因为平行四边形的面积是根据长方形的面积推算出来的，所以把长方形摆在平行四边形的下面，正方形的面积是根据长方形的面积推算出来的，所以将正方形摆在长方形的旁边。（如上图）

师：同学们，看到这幅结构图，你想到了什么？

（此处，教师用简笔画的形式将结构图描成一颗大树的形状，学生就很清楚了）

师：我们将多边形的面积建立起向大树一样的联系，长方形和正方形相当于树根，平行四边形相当于树干，三角形和梯形相当于树枝。说明知识之间存在着十分紧密的联系，新的知识可以转化为旧的知识学习，旧的知识是学习新知识的基础。

【评析：复习课上教师没有让学生机械地背诵公式，而是让学生通过摆图形，找相同点，回忆推导过程，并由“一棵大树图怎样摆图形位置”这一问题展开讨论，推动学生自主地把各种平面图形的面积计算之间的关系联系起来。让学生通过操作、观察、分析，发现知识间的内在联系，顺利地形成合理的认知结构。】
建议：在这两个环节中，可否把回忆面积公式以及图形面积之间的推导过程放手让学生自己课前先整理，课上再进行交流，指导，这样让学生有一个自主梳理个机会，集体汇报交流时可以进行自我的查漏补缺。

三：练习

接下来，我们来做几道联系，看看你从中又能发现什么。

1、每一个方格的边长为1厘米，计算平行四边形和三角形的面积。

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A：认真观察，说一说平行四边形和三角形有什么联系？（等底等高）

B：计算它们的面积并说一说他们之间面积有什么联系？（等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，平行四边形面积是三角形面积的2倍）

C：变换图形两次，说出两个三角形的面积。（如下图）    

 

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D：为什么能一眼就看出他们的面积？（因为等底等高三角形面积相等）

E：学生在作业纸上画一个与作业纸上三角形面积相等的三角形。

可继续提问：画一个三角形，面积是平行四边形面积的一半

2、判断题。（指名学生回答，并说出理由。）

A、三角形的面积是平行四边形面积的一半。

B、两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。

3、求下面两个梯形的面积。

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A、学生计算，之后指名学生汇报结果，教师板书。

B、为什么这两个梯形的形状不一样，但面积却相同呢？（上底+下底的和相等，高相等）

C、你认为怎样的梯形的面积会和这两个梯形的面积相等？能不能举例说明。（上底+下底的和相等，高相等）

D、根据学生举出的例子，多媒体课件展示。

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师：如果继续变下去将会出现什么情况？（变成三角形）

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师：当梯形的上底变成0以后，梯形就演变成了一个三角形。

继续发生变化。

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师：如果继续变下去将会出现什么情况？（变成三角形）

师：当梯形的上底变成0以后，梯形就演变成了一个三角形。

继续发生变化。

师：当梯形上底和下底相等的时候，梯形就要变成了一个平行四边形。

E：将梯形、三角形、平行四边形的面积公式统一成梯形面积公式的形式。

                 S  =（a+b）× h÷ 2

                                 （上底为0）

S   =（a+0）× h ÷ 2

                        （上底和下底相等）

S   =（a+a）× h ÷ 2

【评析：在练习中，教师设计了基本题，即计算各种图形的面积的练习；变式题，即判断正误，再次加深理解面积公式；开放题，即联系图形之间的关系，运用知识解决问题。这样既巩固了本节课所学知识，又把数学和生活联系起来，让学生人人学习有价值的数学。】建议：可再穿插些课外知识，如九章算术的割补知识。

四、小结

这节课你有什么收获？（学生自由回答）

教师小结：这节课，我们复习了多边形面积的计算，我们将它们建构成了向大树一样的联系，长方形和正方形相当于树根，平行四边形相当于树干，三角形和梯形相当于树枝。说明知识之间存在着十分紧密的联系，新的知识可以转化为旧的知识学习，旧的知识是学习新知识的基础。后来在练习中，我们通过把梯形的底发生变化，将三角形和平行四边形的面积统一转化成梯形的面积来计算。看来温故真的能够知新。

 总评：

本节课的复习内容为平行四边形的面积、三角形的面积和梯形的面积计算，以及一些相关的求三种图形的底或高的计算。本节课的目标是通过整理和复习，使学生进一步理解和掌握多边形面积计算公式,能正确、灵活地运用公式进行有关计算，解决一些简单的实际问题。并且通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，建立良好的知识结构，培养学生的创新意识。在落实本节课的预设目标外，教师还做到了以下几点：

一、围绕主线，层次分明。

首先复习它的面积公式以及面积公式的推导过程，通过把平行四边形分割成两个三角形或梯形，复习三角形和梯形的面积公式，通过板书让学生能直观理解每个图形面积之间的联系。这个环节就是围绕着平行四边形的面积公式与其它几个图形的纽带关系，很好的把各种图形的面积串联在一起，形成了一个知识的网络。接着，又一次充分的利用平行四边形这个图形，通过把它分成三角形、平行四边形和梯形三份，分别计算面积。又一次的利用这个平行四边形，通过不断的缩短它的底边，完美的演示了由平行四边形到梯形再到三角形的动态变化过程，让学生在不断的图形变化中深刻的体会图形之间的某种必然联系，很好的渗透一种极限的思想。

二、有效的发展学生的思维能力

在平行四边形演变到梯形再到三角形的过程中，充分的给学生以时间去用语言描述各个图形的变化过程，并且通过上底的变化经过，让学生感悟到实际上就是梯形的上底在不断边长或变短的过程中形成了梯形、平行四边形和三角形三种图形，很好的诠释了用梯形的面积计算公式去概括三种图形面积计算公式的内在原由。不仅如此，当梯形的面积公式拓展到等差数列求和公式时，特别是学生计算从1一直加到10时，明明堆成的图形看起来是三角形，为什么用梯形的面积公式去计算，接着又问，能否用三角形的面积公式去计算，让学生在不断的挫折与挑战中逐步的完善自己的思维，灵活的运用各种方法去解决问题。

【教学思考】

      听完这节课的过程，也是笔者不断追问并试图厘清“复习课的教学目标如何定位？怎样达成？”的过程。

    １．复习课的基本目标——理中求清。

        既是复习，其基本目标必然是对一个阶段已学的内容进行梳理，让学生将头脑中点状的知识结构化、系统化，同时，抓住学生关键性的认知漏洞或误区，让其暴露，进 行弥补，使学生学得更全面、更完整。可见，复习梳理，理的是知识，清的是认识。既然如此，教师需要思考以下两个问题：

    （１）已学过的知识，是每一个学生都真正认识的吗？显然，当我们立足于每一个学生，我们都会清晰地看到，个体之间的差异是客观存在的。同样的内容，同样的教学，在不同的学生那儿，并不会达到同样的理解和把握。所以，复习和梳理，首先应该是学生自我整理的过程。一旦这样的个体行为，变成一种集体式的步伐共进时，就很容易将梳理的过程变成“炒冷饭”的局面，变成一个学生兴致索然、效果了了的过程。如此看来，教材中提出的要求：回想一下，我们学习了哪些平面图形的面积计算？联系各图形面积公式的推导过程，用你认为合适的方式整理出来。比较恰当的教学方式应是，在此要求下课前自主梳理，根据各自梳 理 的 内 容 和 方 式，再 进 行 交 流 和引导。我们可以预想的是，学生自主梳理中可能出现三种不同的层次：最低层次，仅仅理出了各种平面图形面积计算的方法或公式；一层次，不仅理了面积计算的方法，还理了各图形面积公式的推导过程；最高层次，能根据各图形面积公式的推导过程用个性化的方式恰当地表达出它们之间的联系。应该说，这三种层次反映出前期学习中不同学生过程性目标的达成度，折射出不同学生对这部分内容的掌握是机械性学习的结果，还是理解性学习的成分居多。照这样的分析，课堂上对各自梳理内容的交流和引导，按“理结论—理过程—理联系”的脉络予以展开，其意义，就是在“理”中让不同层次的学生都获得对各图形面积计算的清晰认识。对于第三层次的学生来说，梳理后的交流，是在比照中丰富将知识结构化的经验；对于第二层次的学生来说，他们收获的，还有更强烈的将知识结构化的意识；而对于第一层次的学生而言，交流的过程，还有帮助他们理解结论产生过程的功效。

  （２）在“知道的”当中，有普遍性的疏漏或误区吗？

     小学阶段，图形面积的推导过程，主要是聚焦影响面积的两个长度变量，通过沟通不同图形长度变量间的联系来获得各图形面积计算方法。从某种意义上说，这容易让学生对等底等高和面积相等（或面积是一半）的内涵和外延存在一定程度的混淆与模糊理解。而对于等底等高与面积相等（或面积是一半）之间的密切联系、“等底等高≠完全相等”等关键点，学生会在前期的学习和变式练习中产生比较强烈的印象。但同时，也容易将决定“面积 相 等”的 范 畴 就 此 窄 化 为 “等 底 等高”。基于这样的学情分析，基本练习后的变式，从三角形的变形予以展开。“如果要画一个三角形，它的面积是和方格中三角形面积一样，你行吗？用最快的速度在方格纸上画出一个这样的三角形”。果然，速度要求之下，学生呈现的第一想法都是画一个和它等底等高的三角形，稍有不同的，只是形 状 的 差异。如此看来，抓住“面积相等” “等底等高”之间的不同，让学生在画中关注“形”，在“形”中聚焦“数”，是有助于学生厘清面积与影响其变化的长度变量之间的关系的。

 ２．复习课的核心宗旨——通中达融。

  复习课除了梳理、补漏、纠错，更重要的意义是什么？布鲁纳“每一门学科都有其自身的结构”“教知识不如教结构”的观点，可以给我们以启发。既是对一个阶段所学内容的整理和复习，显然，将所学知识彼此间建立联系，形成结构，是必 须 的。这 也 是 复 习 课 的要 旨所在。

（１）聚焦学习过程，需要“通”什么？

   如前所述，梳理各多边形面积计算的方法和推导过程，形成网络图。这是对一单元学习内容的疏通与架构，是帮助学生形成认知结构必做之事。这是“通”的首要环节。

 （２）回望认知基础，可以“通”什么？

      除此之外，回望已学的内容，面积的计算是由面积的意义这一“根基”上生长出来的。三年级认识面积时，学生理解了面积的含义。而对于面积的一个重要特性———面积的可加性，在前面具体内容的学习中（如平行四边形面积公式的推导），往往是就事论事式的通过某个例子的观察比较，作为一种公认的现象，让学生知道图形变形前后大小未变。因着这样的思考，才有了本节课在“画一个是三角形面积和纸上三角形面积一样”的要求之下，在对学生呈现出的各种“底不等高不等但面积相等”的数据的追问———“这些三角形既不等底又不等高，怎么面积就相等了呢？”这样的设计，凸显了“形”与“算”之间的联系。同时，可呈现各种割补法之后的追问———“大家有没有想过，为什么这些图形可以切切、补补、拼拼，变成别的图形来推导它的面积计算方法呢？”亦是让学生对“平面图形切割拼补后不改变面积的大小”这样的经验作出一个综合性的阐述。

  （３）放眼后续发展，还可“通”什么？

     放眼整个 关 于 平 面 图 形 面 积 计 算 的 研究，各种图形面积公式的推导方法和路径其实是多元的。基于学生已有的知识基础，小学阶段的教材，都采用了借助两个全等的三角形或梯形来推导它们的面积 公 式。但 其实，割补法的普适性和生命力更强。这一点，一千七百多年前刘徽在《九章算术》中所呈现的各种用割补法进行面积推导的路径亦可作为佐证。也正因为此，不同版本的教材都在“你知道吗？”等栏目中或多或少地予以提示和拓展。对于这样的“节点”，教师自然都不会放过。那么，怎么处理？作为一个知识点呈现，是一种方式；作为另一种不同的转化方法予以演示，也是一种方式；在复习课中，作为一个内通外联、留有韵味的载体，也是一种方式。本节课中，笔者尝试从方格图上梯形的变形入手，通过直观图形和抽象公式的比较，打通梯形和三角形的联系，教师可在此基础上，介绍《九章算术》中几种主要的割补推导的方法，引发学生对其他转化方式的遐想和思考，并为今后研究这些转化方式的合理性留下伏笔———“为什么任意一个三角形或梯形，都可以割割补补变成长方形  呢？或 者 说，怎 么 剪 拼 才 能 变成 长 方形呢？”笔者以为，“内通”认识成框架，“前通”结构找皈依，“后通”节点促生长，应是复习课需要把 握 的 关 键。 只 有 实 现 这 三 个 方 向  的“通”，才有可能帮助学生到达“融”的境界，让学生在知识的学习中丰富认识并积淀可持续发展的能量。

        ３．复习课的本质意义———思中得慧。

“知识是他人经验的累积。智慧是自己经验的累积。”那么，如何让学生在数学学习中生长智慧？数学的本质是思维。显然，让学生在思考中获得思考的经验，从而发展其思维、启迪其智慧，是数学教学的重要价值所在。故此，对每一个数学教师而言，思学生之思，是实施教学的重心。笔者以为，“思”首先是一种思考的状态。研究表明，人在需要、动机、兴趣、情感、意志等心理因素的积极作用下，注意力高度集中，大脑皮层高度兴奋，思维高度活跃且持续时，会产生一种思维流。在思维流发生的这段时间里，人表现为精神振奋、心情愉悦、充满爱心、感受性强、自觉性高、记忆清晰、反应敏捷、联想丰富，时间在不知不觉中过去，学习和研究的效率达到平时的最高水平。显然，思维流的产生是我们梦寐以求的。那么，如何帮助学生进入于思维流中徜徉的状态呢？除了外在的知识、内在的动机，发现问题、分析问题、解决问题的一些基本方法，都是我们需要考虑的前提条件。正因为此，基于学生的知识基础提出难易适度的问题、给予学生一定的方法指导、让学生在思考过程中不断获得成功体验……是促使学生感受思之魅力的关键。基于这样的思考，贯穿本节课始终的“我想……”“没想到……”，试图让学生把“想”当做一种现象予以关注，体会思考的状态；课中抛出的问题串———  为什么这两个梯形的形状不一样，但面积却相同呢？ 你认为怎样的梯形的面积会和这两个梯形的面积相等？再仔细观察，是不是又能发现什么呢？等等，试图让学生在“跳一跳”中享受思考逐步清晰与深入的愉悦；紧随引导发现———通过上底的变化经过，感悟到实际上就是梯形的上底在不断边长或变短的过程中形成了梯形、平行四边形和三角形三种图形，很好的诠释了用梯形的面积计算公式去概括三种图形面积计算公式的内在原由，试图引导学生积淀寻因问果、推理证明、归纳概括的意识和方法；还有那穿插其中的“多看一眼，就有了新的发现”“多想一想，就出现了这么多的情况”“互相说一说，就有了新的认识”等评价点拨的话语，亦是试图引导学生感悟获得发现与思考的途径。思学生之所思，这其中值得我们去思考和探索的空间还很广阔。因为，数学课堂中，无论是热烈的氛围，还是冰冷的外表，最为重要的是有没有“火热”的思考。为了学生那沉思的表情、闪烁的明眸和豁然的愉悦，我们必须思之，行之，再思之！