Sobolev空间在偏微分方程中的应用

陈荣亮（计算数学）

在数学本身的发展中，也时常要求冲破古典分析对一些基本运算使用的限制。远在三十年代，苏联数学家Sobolev为了确定偏微分方程的解的存在唯一性，发现如果仅限于在古典意义下来理解微商及其所对应的方程，那么一方面会造成很多不必要的限制，另一方面还排斥了很多近代数学工具使用的可能性。因而推广了微商的概念，引进了广义微商的概念，提出了广义函数的思源。Sobolev广义微商的引入，为泛函分析方法应用到微分方程理论建立了桥梁。在广义微商的基础上，提出了偏微分方程的广义解的概念。

随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在在古典理论上是不存在解的。但实际背景表明，它们是存在唯一解的。这时，偏微分方程的广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际中相冲突的问题。广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的存在唯一性问题，分解成某个Sobolev空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题。特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解。

在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数于Sobolev空间。它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边于某个区域进行积分，再进行一定的化简，将其等价地化为一个变分问题，再在某个Sobolev空间中求解这个变分问题。其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的广义解。如果偏微分方程的解满足一定光滑性，可以证明，如此得到的解正是偏微分方程的古典解。其实，在物理学、力学及工程技术领域，许多时候，广义解具有具体的实际意义。在某种情况下，找到了广义解，也就解决了实际问题。

综上所述，广义微商及Sobolev空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页！