二阶常系数非齐次线性方程的解法

   我们来学习二阶常系数线性非齐次方程http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht1.gif的求解方法.由前面我们知道线性非齐次方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次方程的通解之和。前面我们已知道对应齐次方程的通解的解法，现在的关键是怎样求得特解。
二阶常系数非齐次线性方程的解法
   常系数二阶线性非齐次方程的一般形式为：
                       http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht1.gif
   下面我们根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式：
    （1）：设http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht2.gif，其中μ为一常数，
      若http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht3.gif为零次多项式，此时：
            a):当μ不是特征方程的根时，可设http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht4.gif
            b):当μ是特征方程的单根时，可设http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht5.gif
            c):当μ是特征方程的重根时，可设http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht6.gif
      若http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht7.gif为一m次多项式，即：μ=0，此时
            a):当a₂≠0即μ=0不是特征方程的根时，可设http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht8.gif
            b):当a₂=0，a₁≠0时，即μ=0是特征方程的单根时，可设http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht9.gif
            c):当a₂=0，a₁=0时，即μ=0是特征方程的重根时，可设http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht10.gif
   例题：求方程http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht11.gif的一个特解
   解答：对应的特征方程为http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht12.gif
         原方程右端不出现http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht14.gif，即μ=0
         因为μ=0不是特征方程的根，所以设特解为
                            http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht15.gif
         代入原方程，得
                            http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht16.gif
         于是：              http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht17.gif
         故所求的特解为：
                             http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht18.gif
   （2）：设http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht20.gif，其中a,μ,v为常数。
          此时的特解为： http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht21.gif
   例题：求方程http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht22.gif的特解
   解答：显然可设特解为：
                              http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht23.gif
         代入原方程得：
                              http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht24.gif
         由此得：
                               A=-1
         从而原方程的特解是
                               http://www.aihuau.com/lzzgs/gs9/9.7.ht25.gif