三年级尖子生奥数

第四讲   盈亏问题

 

根据一定的数量，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余，一次不足，或两次都有余，或两次都不足，这类涉及分配有余或不足的问题，叫盈亏问题。 

解题方略： 

关键在于找出两次分配中数值保持一定的量，弄清盈、亏与两次分得的差之间的关系，运用包含除的原理，求得份数。在解题时我们一般借助摘录条件法和画图法来分析题中的数量关系。 

盈亏问题基本数量关系式： 

（盈+亏）÷两次分配差=份数 

（大盈-小盈）÷两分配差=份数 

（大亏-小亏）÷两次分配差=份数 

盈适足：一次分配有余，一次正好够分； 

不足适足：一次分配不足，一次正好够分。

 

例1、学校组织学生去太阳岛活动，如果每船坐65人，则有15人上不了船。如果每船多坐5人，恰好多余了一条船。问一共有几条船？多少名学生？ 

解析；每船多坐5人也就是每船坐5+65=70（人），恰好多余

一条船，说明还差一条船的人，即70人，因而原问题转化为：如果每船坐65人，则有15人坐不上船，如果每船坐70人，则还差70人，求有几条船？多少名学生？这就是典型的盈亏问题了，可求解： 

（15+70）÷（70-65）=17（条）„„„„船数      

65×17+15=1120（人）或70×17-70=1120（人）„„„„学生数 

答：一共有17条船，1120名学生。 

已知在解盈亏问题时，有时题中没有给出直接条件，那么就需要根据已知条件和题中隐含条件，转化成所需条件，在进行求解。

例2、少先队员去植树，如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑。问少先队员一共挖了多少个树坑？ 

解析：我们需要把题目中已知“如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑”。转化为如果每人都挖6个树坑，那么就可以多挖树坑（6-4)×2=4（个），这样原题就转化为典型的盈亏问题，“如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果每人各挖6个树坑，就可多挖4个树坑”可求解

（3+4）÷（6-5）=7（人）„„„„少先队员人数       

6×7-4=38（个）„„„„坑数       

答：少先队员一共挖了38个树坑。 

    在转化条件的时候要认真分析那些条件是可以转化的，如“如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完全部树坑”中“其中2人各挖4个树坑”有实际的“人数”和“坑数”这样可以把它化成“平均的数量”“每人各挖6个树坑”，那么所分配的 “盈”或“亏”的数量也随之变化。

例3、用绳子测井深，绳子两折时，井外余60厘米，绳子3

折，还差40厘米，求绳长和井深。 

解析：绳子二折时，绳子多余长度是60×2=120（厘米）

绳子三折时，绳子不够的长度是40×3=12（厘米）

所以“盈亏总额”（井深）为120+120=240（厘米）

根据盈亏问题的数量关系，可解： 

 （120+120）÷（3-2）=240（厘米）„„„„井深

  （240+60）×2=600（厘米)或（240-40）×3=600（厘米）

  答：绳长600厘米，井深240厘米。

例4、一个学生从家到学校，先用每分钟50米的速度走2分钟后，感到如果这样走下去，他上课就要迟到8分钟。后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟，这个学生从家到学校的距离是多少？

解析：每分钟走50米，要迟到8分钟，就是学校要开始上课，他还距学校50×8=400米。如果每分钟走60米，可早到5分钟，还可走60×5=300米。两种不同的速度，在相同的时间内路程相差了400+300=700米。后一种速度比前一种速度快60-50=10米，每分钟多走10米，一共多走了700米，因此可以求出从家出发要走多少分钟能准时到校700÷10+2=72分钟，进而求出从家到学校的距离，求解： 

 （50×8+60×5）÷（60-50）+2=72（分钟）„„„„准时到校时间  

   50×72+50×8=4000（米）„„„„家到学校的距离     

 答：这个学生从家到学校的距离是4000米 

例5、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？ 

解析：买5支钢笔差1元5角，如果把这5只钢笔换成圆珠笔的话就可以退回6元钱，所以小明带的钱买5支圆珠笔就应该多了4元5角，这个时候就可以去和第二个条件进行比较，8-5=3只圆珠笔就等于4元5角-6角=3元9角，一只就是3元9角÷3=1元3角，那么小明一共带了13×8+6=110角=11元钱。

列式计算： 1元角=12角   1元5角=15角   

（12×5-15-6）÷（8-5）=13（角）„„„„每只圆珠笔钱数 

 13×8+6=110角=11元钱„„„„小明带的钱数       

  答：小明带了11元钱。

 

 

1、学校有一批树苗，交给若干名少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分；如果再拿来8棵树苗，那么每个少先队员正好栽10棵。问参加栽树的少先队员有多少人？原有树苗多少棵？

 

 

 

 

 

2、小明一元钱买了5支铅笔和8块橡皮，余下的钱，如果买1支铅笔就不足2分，如果买一块橡皮就多出1分，每支铅笔多少分？每块橡皮多少分？

3、四（1）班同学植树，每人植1棵还剩20棵，每人植2棵差30棵。有多少个同学？多少棵树苗？

 

 

 

 

 

4、学雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬18块，还剩2块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？

 

 

 

 

 

5、老师把一些苹果分给小朋友。如果每人分一个，还剩下8个苹果；如果每人分2个，那么还少2个苹果。一共有多少个小朋友？

 

 

 

 

6、少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵。参加植树的少先队员有多少人？这批树有多少棵？

 

 

 

 

 

7、幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友，每人5个余10个；如果分给小班的小朋友，每人8个缺2个。已知大班比小班多3个小朋友。这一筐苹果有多少个？

 

 

 

 

8、一小包糖分给几个小朋友，如果每人分3块，则余3块；如果每人分5块，则少一块。那么小朋友有多少人？糖有多少块？

 

 

 

 

 

9、王华用自己仅存的漆包线在磁棒上绕线圈，当他绕了80圈时，测得余线长15.28厘米，于是想改绕90圈，却发现缺少22.4厘米的漆包线，王华的漆包线有多长？所用的磁棒的半径是多少？

 

 

 

10、李老师将一叠练习本分给第一小组同学，每人分7本还多7本，如果每人分9本，那么有一个同学分不到。请算一算，第一小组有几个同学？这叠练习本有多少本？

 

 

 

 

11、 甲和乙两人都买了一套相同的信笺盒，甲把每个信封里装一张信笺纸，结果用完了所有的信封，但剩下50张信纸；乙把每个信封里装三张信纸，结果用完了所有的信纸，剩下50个信封。问每套信笺盒中有多少张信纸？有多少个信封？

 

 

 

 

 

12、大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃，每只小猴分10个桃子，有两只小猴没分到，第二次重分，每只小猴8个桃子，刚巧分完。问一堆桃子有多少个？小猴有几只？

 

 

 

13、有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人。如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班有多少同学？

 

 

 

 

14、小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，还多出4只，如果一人分6只，其余每人分4只，又缺12只，小红家买来多少只桔子？小红家共有多少人？

 

 

 

 

 

 

15、 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖，如果其中2人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖了多少树坑？

 

 

 

盈亏问题

训练1.  把一堆糖分给幼儿园的小朋友们，如果每人分3块，将会剩余15块 如果每人分4块，将缺少5块，那么幼儿园共有多少个小朋友？

训练2：小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？