第一章 三角形的证明 

1、等腰三角形 

（1）三角形全等的性质及判定 

全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 

（2）等腰三角形的判定、性质及推论 

性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 

（3）等边三角形的性质及判定定理 

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 

（4）含30度的直角三角形的边的性质 

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

 2、直角三角形 

（1）勾股定理及其逆定理 

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 

（2）直角三角形两个锐角之间的关系

定理：直角三角形两个锐角互余。

逆定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

（3）含30度的直角三角形的边的定理

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

逆定理：在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30度。

（4）命题与逆命题

命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 

（5）直角三角形全等的判定定理 

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

 3、线段的垂直平分线 

（1）线段垂直平分线的性质及判定 

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 

（2）三角形三边的垂直平分线的性质 

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（该点称为三角形的外心） 

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

 4、角平分线 

（1）角平分线的性质及判定定理 

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

 （2）三角形三条角平分线的性质定理 

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（该点称为三角形的内心）