https://zh.wikipedia.org/wiki/中心极限定理

历史 [编辑]

Tijms (2004, p.169) 写到：

棣莫佛－拉普拉斯定理 [编辑]

棣莫佛－拉普拉斯（de Movire - Laplace）定理是中心极限定理的最初版本，讨论了服从二项分布的随机变量序列。它指出，参数为n, p的二项分布以np为均值、np(1-p)为方差的正态分布为极限。

内容 [编辑]

若https://upload.wikimedia.org/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png：

(i)当https://upload.wikimedia.org/math/2/d/f/2dff7919ca3a7ba5605f824c68a86e10.png时，一致地有

https://upload.wikimedia.org/math/0/b/b/0bb45eb819b94fc99326a165539f25fb.png

(ii)当https://upload.wikimedia.org/math/d/3/a/d3a3154c093175197f6594a7db2f1b2f.png时，一致地有

https://upload.wikimedia.org/math/b/7/1/b710dbe55d0137772e112a3d7196167d.png， 其中https://upload.wikimedia.org/math/3/6/6/366eb0278c9f17f78a0e85b34a886c98.png

在高尔顿板问题上的应用 [编辑]

棣莫弗－拉普拉斯定理指出二项分布的极限为正态分布。高尔顿板可以看作是伯努利试验的实验模型。如果我们把小球碰到钉子看作一次实验，而把从右边落下算是成功，从左边落下看作失败，就有了一次https://upload.wikimedia.org/math/e/2/9/e29bac9ec0d8fc3a16d2172dbd9f3882.png的伯努利试验。小球从顶端到底层共需要经过n排钉子，这就相当于一个n次伯努利试验。小球的高度曲线也就可以看作二项分布随机变量的概率密度函数。因此，中心极限定理解释了高密顿板小球累积高度曲线为什么是正态分布独有的钟形曲线。

林德伯格－列维定理 [编辑]

林德伯格－列维（Lindeberg-Levy）定理，是棣莫佛－拉普拉斯定理的扩展，讨论独立同分布随机变量序列的中心极限定理。它表明，独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限：

内容 [编辑]

设随机变量https://upload.wikimedia.org/math/e/6/4/e647232d6416232a752deb4da5bfe2b6.png独立同分布， 且具有有限的数学期望和方差https://upload.wikimedia.org/math/a/f/e/afe0a610cc59593677a427fbf45b1e83.png。记

https://upload.wikimedia.org/math/4/5/a/45a81d775baa4e6c0ebaa6dcc981b93b.png，则 https://upload.wikimedia.org/math/c/2/e/c2eecce9c3458bce36c0fb9a21cdecdc.png

其中https://upload.wikimedia.org/math/d/b/1/db1de12f11965af2200ee8f2c686b802.png是标准正态分布的分布函数。

证明 [编辑]

记https://upload.wikimedia.org/math/3/b/4/3b49b8155e834b790854ed8e39182a8f.png因此

https://upload.wikimedia.org/math/7/d/2/7d29f959d187c4876d437e93eb381f10.png

所以

https://upload.wikimedia.org/math/a/e/8/ae8f19db717def9c587bc6f9ccd1e297.png

由于https://upload.wikimedia.org/math/4/a/8/4a80ff5079a1a7e380d091d7a8063d0d.png，因此由逆极限定理知

https://upload.wikimedia.org/math/0/c/9/0c90dc2691821bb38440eb5902fcd118.png

定理证毕。

林德伯格-费勒定理 [编辑]

林德伯格－费勒定理，是中心极限定理的高级形式，是对林德伯格－列维定理的扩展，讨论独立，但不同分布的情况下的随机变量和。它表明，满足一定条件时，独立，但不同分布的随机变量序列的标准化和依然以标准正态分布为极限：

内容 [编辑]

记随机变量序列https://upload.wikimedia.org/math/6/8/2/6822ecc69cd3ac2eaea481e42c69c302.png且有有限方差）部分和为

https://upload.wikimedia.org/math/2/4/a/24ada8d5fcbfedb5e27dcd9fb984c60c.png

记

https://upload.wikimedia.org/math/3/f/3/3f3cfaed1a3101e2b11a7411336faa21.png

https://upload.wikimedia.org/math/4/d/8/4d8ec5cd7a9ae2b031397bc0b19a84d7.png.

如果对每个https://upload.wikimedia.org/math/e/7/7/e778429d8769714354b1994984a23fe5.png，序列满足

https://upload.wikimedia.org/math/f/a/d/fad067162105d5a86e7b306a12956c75.png

则称它满足林德伯格（Lindeberg）条件。

满足此条件的序列趋向于正态分布，即

https://upload.wikimedia.org/math/c/2/2/c2223aa5d33af540d7ffcfdb0ee8efe8.png

与之相关的是李雅普诺夫（Lyapunov）条件：

https://upload.wikimedia.org/math/b/e/3/be36208ea23f88c387e323778f11a528.png

满足李雅普诺夫条件的序列必满足林德伯格条件。

证明 [编辑]

在此只对较强的李雅普诺夫条件给出证明。

以下证明对每一实数https://upload.wikimedia.org/math/1/5/6/156406c42d6ef46ecabba9233c444a2e.png。

https://upload.wikimedia.org/math/f/8/1/f81272a2d6977df6424103de67131521.png

泰勒展开，上式可近似为

https://upload.wikimedia.org/math/d/0/1/d01b731164e01706350be2c3d5a28712.png

由李雅普诺夫条件，当https://upload.wikimedia.org/math/e/f/4/ef448529bb0fd823fa4aa6239bbab922.png时，第一项收敛于零。

令https://upload.wikimedia.org/math/9/5/2/9527222ce0d463f03c2eb1d6bfaf60d1.png，则由李雅普诺夫不等式，

https://upload.wikimedia.org/math/0/a/f/0afa57ada477328f6a94eb99c9d3f9a9.png

因此第二项也收敛于零。

证毕。

中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。