大罕

　　【题目】已知函数f(x)=m(x-m)(x+m+2)和g(x)=3^x-3同时满足以下两个条件：

   　　对任意实数x都有f(x)<0或g(x)<0；

   　　总存在x0∈(-∞,-2)，使得f(x0)g(x0)<0成立，

则实数m的取值范围是  　　　　    .

　　【大罕给出解答】

　　  条件(1)，即f(x)、g(x)中至少有一个为负.

　　  先考虑g(x)：当x<1时，g(x)=3x-3<0；

　　  注意到f(x)图像与x轴两交点为(m,0)和(-m-2,0)，当x≥1时，g(x)=3x-3≥0，必有f(x)<0，这只须f(x)图像开口向下(即m<0)，且点(-m-2,0)在点(1,0)的左边.

　  　条件(2)，即存在x0<-2时，此时有g(x0)<0；

        欲f(x0)g(x0)<0，则须f(x0)>0，因此点(m,0)在点(-2,0)的左边.                  

        综上，结合函数图像如图，有如下不等式组：                 

　      m<0, 　 　

         -m-2<1, 　

         m<-2, 　 　

联立，解得-3

         

解题过程及其说明　

      解题过程　　　　　　　　　　        对过程的说明

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    条件，即f(x)、g(x)中至少有一个为负.

                                                            解释条件，让学生“入戏”。

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    先考虑g(x)：当x<1时，g(x)=3x-3<0，

                                                        “先”字是思考顺序，这种情况是符合的

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    注意到f(x)图像与x轴两交点为(m,0)和(-m-2,0)

                                                          再考虑时，解释了二次函数两根的意义，这是充分运用

                                                          条件，为后续作好铺垫。

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    当x≥1时，g(x)=3x-3≥0，必有f(x)<0

                                                         第二种情况下，必有f(x)<0。这是酝酿，提出本题的第一个关键。

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    这只须f(x)图像开口向下(即m<0)，且点(-m-2,0)在点(1,0)的左边.

                                                         为解决问题，f(x)图像应该是这样的，这是解决关键问题。

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    条件，即存在x0<-2时，此时有g(x0)<0

                                                        解释条件，让学生充分运用条件，渐入佳境。

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    欲f(x0)g(x0)<0，则须f(x0)>0，因此点(m,0)在点(-2,0)的左边.

                                                       强调条件，“逼”出第二个关键。

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    综上，结合函数图像如图，有如下不等式组

                                                      指明是利用图像，一并解决上面提出的两个关键问题

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　    m<0, 　 　

　    -m-2<1, 　

    　m<-2, 　 　

      联立，解得-3

                                                      小结：数学题的陈述，如同写文章一样，虽有不同的风

                                                      格，但应有“启、承、转、合”的基本程序。用词准确、

                                                      精练、通俗易懂，便于学生理解。反对“懂者恒懂，不

                                                      懂者恒不懂”的表达方式。

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