对一道最值问题的评论

        新浪微博“北京四中数学组”贴出了一道有趣的几何最值问题，如下：
       【题目】如图1，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上一点，BE=2，点F是AB上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边EFG，连接AG，则线段AG的最小值为( ).

【解法一】初中视角下的平几法，由北京四中提供．

以BE为边向上作正三角形BEP，连接PG，则BEFPEG(SAS)，因此∠GPE=∠FBE=90°．因此欲使线段AG最短，则必有AG⊥PG．

延长GP交AB于H，连接HE，则BEHPEH(HL)，

∴∠BEH=∠PEH=30°，

在RtBEH中，BH=BE•tan30°=2√3/3，

∴AH=AB-BH=8-2√3/3=(24-2√3)/3，

∴AG=AH•sin60°=[(24-2√3)/3](√3/2)= 4√3-1．

【评论一】从纯平面几何方法考虑，利用构造全等三角形和解直角三角形获解，应该说是比较困难的．

难点在于作出正BEP．由于线段PE是固定的，那么过线段一端P且垂直于该线段的直线也是固定的，因此，点G在一条线段上运动，且直线PG⊥PE．

根据直线PG外一点A到此直线的最短距离是垂线段，因此必有AG⊥PG．也就是说，求AG的最小值问题，转化为求点A到直线PG的距离问题了．

【解法二】高中视角下的解析法．

设点O与点B重合，以OC、OA为x、y轴，建立直角坐标系，

E(2,0)，A(0,8)，设F(0,m)(0≤m≤8)，则

向量EF=(-2,m)对应的复数为-2+mi，将向量EF沿顺时针方向旋转60°，得到向量EG，由复数乘法的几何意义，知

EG=(-2+mi)[cos(-60°)+isin(-60°)]=-1+√3m/2 +(m/2+√3)i，

∴向量OG=向量OB+向量BG =1+(√3/2)m+(m/2+√3)i，

∴点G的坐标为(1+√3m/2,m/2+√3)

由两点距离公式，得　　　　　　　　　　　　　　　

AG^2=(1+√3m/2)^2+(m/2+√3-8)^2=m^2+2(√3-4)m+68－16√3.

∴当m=4-√3(∈[0,8])时，(AG^2)最小值=49-8√3,

∴AG最小值=4√3-1．

【评论二】在直角坐标系下，由相关点的坐标得到相应向量的坐标．正EFG可用向量EF旋转-60°得到。不难得到点G的坐标．求两点距离所在函数的最小值即可大功告成．

【解法三】由解法二可得点G(x,y)的坐标为(1+√3m/2,m/2+√3)，

即x=1+√3m/2，y=m/2+√3．

消去参数m，得线段PQ的方程为：　　　　　　

 x-√3y+2=0 (1≤x≤1+4√3),

则点A到线段PQ的距离为：

d=|-8√3+2|/2=4√3-1，即线段AG的最小值为4√3-1，如图5．

【评论三】这个解法更接近事实的真相。解题过程中，确定了点G的轨迹的方程，表明它是一条线段PQ，其中P点是正BEP的顶点，Q点是正ABQ的顶点。再由点到直线的距离公式从而一举成功．

解析法的思路相当简明．完全可以作为训练题给高二学生使用．

从以上评论看出，这道题初中、高中都可以使用它，是一道值得玩味的佳题．