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(2021-03-14 09:37:53)
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菲波那契比内兔子通项公式 |
分类： 代数 |
菲波那契数列的通项公式（比内公式）
大罕
F(1)=F(2)=1，F(n+2)=F(n+1)+ F(n),(n=1,2,3,)，
其中数F(1)=F(2)=1叫做初始值，等式F(n+2)=F(n+1)+ F(n)叫做递推关系式．
()待定系数法，即构造等比数列法，这是初等数学的方法，涉及的知识点和技巧都是高中数学范围内的．
()利用特征方程法．需要线性代数的有关知识．
()母函数法．这是数学分析的方法，需要级数相关知识．
()矩阵法．需要线性代数里关于矩阵行列式的相关知识．
()差分方程法．需要微分方程的相关知识．
()其它方法．例如利用几何构图加以推导．
本文感兴趣的是初等数学的方法，让中学生无须添加新的知识就能看懂．
初等数学的方法．基本思路是构造数列，通过待定系数法，把递推数列 通过两次转化，化归为等比数列，从而求得它的通项公式．
以下的过程中，由于是在word下完成，写与读都十分费力，故正文部分写得较略，详情见附图文字．
第一次构造等比数列，如下：
对递推式F(n+2)=F(n+1)+ F(n)，两边同时加上λF(n+1)，得
F(n+2)+ λF(n+1)=F(n+1)+ λF(n+1)+ F(n)
同时令F(n+2)+ λF(n+1)=(1+λ)[F(n+1)+λF(n)]
由的右边得λ=1/(1+λ)，解得λ=(-1±√5)/2，
不妨取λ=(-1+√5)/2，则1+λ=(1+√5)/2，
∴数列{F(n+1)+λF(n)}是等比数列，首项为F(2)+λF(1)=1+λ，公比为1+λ，
∴F(n+1)+ λF(n)=( 1+λ)^n，
则F(n+1) = -λF(n)＋( 1+λ)^n，
第二次构造等比数列，如下：
令F(n+1)+x(1+λ)^(n+1) =-λ[F(n)+x(1+λ)^n]，
即F(n+1) =-λF(n)-λx(1+λ)^n-x(1+λ)^(n+1)，
由的右边得(1+λ)^n=-λx(1+λ)^n-x(1+λ)^(n+1)，
解得：x=-1/(2λ+1)=-1/√5，
∴数列{F(n)-(1/√5)[(1+√5)/2]^n}是等比数列，首项为(√5-1)/2√5，公比为(1-√5)/2，
∴F(n)-(1/√5)[(1+√5)/2]^n =[(√5-1)/2√5][(1-√5)/2]^(n-1)，
∴F(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n }.证毕.
菲波那契数列具有强大的生命力．从它诞生至今的800多年间经久不衰，历久弥新，其内容已非常丰富．本文不过是以管窥豹，显然不可能也没必要全面地介绍菲氏数列．上述用初等数学方法推导通项公式就是出于这样的考虑．
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