[原创]九点圆定理的纯平几证明_大罕

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[原创]九点圆定理的纯平几证明

(2020-12-24 21:12:30)

标签：

九点圆

欧拉

分类：几何

九点圆定理的纯平几证明

大罕

    【九点圆定理】三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点，这九点共圆.
      证法有多种，以下是纯平几的，也是最简单的．

    【证明】如图，H为ABC垂心，三高线的垂足分别为D、E、F，三边中点分别为M、N、L，垂心H到三顶点连线的中点分别为P、Q、K，
      连结QK、QD、QN、KD、KN，则QK//ND，故四边形QNDK为梯形，
      又易知四边形QBNK为平行四边形，则QB=KN，
       Q为RtHBD的斜边HB的中点，∴QB=QD，
      ∴KN=QD，∴四边形QNDK为等腰梯形，
      ∴Q、N、D、K四点共圆．

      这就是说，HBC三边中点D，N，K与边BC上的垂足D这四点共圆，
      同理，可得HBC的三边中点D，N，K与边AC、AB上的垂足E，F这四点共圆．
      也就是说，HBC三边中点D，N，K与ABC三边上的垂足D、E、F这六点共圆．
      同理，HAC和HAB的三边中点K，L，P和P，M，Q都与ABC三边上的垂足D、E、F这六点共圆．

     而过D、E、F这三个点的三角形只有一个外接圆，
      ∴D、E、F，M，N，L，p、Q、K这九点共圆．证毕．

　　附录：数学家欧拉（LeonhardEuler，1707－1783）在1765年就发现了九点圆，因此人们称之为“欧拉圆”。它有许多性质，例如：

　　1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

　　 2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

　　3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

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