《大罕数学教学随笔》第1.9节修订稿

大罕

　　先看一个例子：

　　例1、已知函数y=log(2)(x^2-ax-a)的定义域为R，求实数a的取值范围；

　　　　已知函数y=log(2)(x^2-ax-a)的值域为R，求实数a的取值范围．

　　分析：

　　定义域的意义是函数的基本概念所给出的，它是自变量x的取值范围，又因为含对数的函数的真数部分必须为正，所以函数y=log(2)(x^2-ax-a)的定义域为R等价于

　　x^2-ax-a>0对x∈R恒成立，

　　令f(x)=x^2-ax-a，则有

　　上式⇔抛物线y=f(x) 恒在x轴上方，⇔抛物线y=f(x)的开口向上，与x轴无交点,

　　故=a^2+4a<0，∴-4

　　值域的意义是函数的基本概念所给出的，它是函数值y的取值范围，又因为对数函数的函数值遍取实数时只须其自变量遍取正数，所以函数的值域为R等价于x^2-ax-a遍取正数，于是又等价于

⇔抛物线y=f(x)的图像与x轴有交点， 

　　故=a^2+4a≥0，∴-4

　　上面例题的正确解答，关键在于定义域和值域的概念．忽视对数学概念的准确理解，会导致概念模糊．概念模糊就会做错．而且，解数学题过程中的许多毛病和错误，往往是因为概念不清造成的． 

　　概念是对客观事物本质属性的概括和反映．数学概念是推导数学定理、公式的基础，正确理解数学概念是学好数学的前提． 

　　我们看到，在数学教学中普遍存在的急功近利、揠苗助长的现象．比如摈弃概念的发生经过、忽略定理的推导过程、无视公式的适用范围、不要铺垫的高难度题、不讲算理只讲算法的解题技巧等等，这些鲁莽的教学方式违反了教育学心理学的规律，不仅达不到快速提分的效果，适得其反，还加重了学生的学习负担．

　　重视概念教学与夯实数学基础，它们之间存在密切的关系．重视概念教学有利于夯实数学基础，夯实数学基础能帮助理解数学概念．

　　重视概念教学，夯实数学基础，可以采用以下方式：

  　变式教学，夯实基础。

   普通高中的一些学生，只适应在熟悉场景下解题，换了场景就失去方向，不知所措。克服这一缺点，就要加强变式教学。

　　有一道十分简单的题，一些学生对数列“前n项和”的概念掌握不牢，却不会做：

　　例2、数列｛an｝中，若a(1)+ a(2)+ a(3)+…+a(n)=2^n-1，求a(1)^2+ a(2) ^2+ a(3) ^2+… +a(n) ^2的值．

　　分析：若把上面题目的条件写成：数列｛an｝中，S(n)=2^n-1，学生会做，这是基于在教学中我们总是用这样的方式进行训练．奇怪的是，若把条件换成“若a(1)+ a(2)+ a(3)+… +a(n)=2^n-1”就不会做了！

 　“a(1)+ a(2)+ a(3)+… +a(n)=2^n-1”与“S(n)=2^n-1”不是一回事吗？

　　单独看“S(n)=a(1)+ a(2)+ a(3)+… +a(n)”没有疑义，分开用就有疑虑了！说明我们在做题过程中，没有严格审视“前n项和”这个概念，存在一种错误的思维定势，从而引起误解．

　　逆向思维，夯实基础。

    　一些学生只适应正向思维，但是在正向思维下解题过程较难，却不会主动转换思维方式，找到最佳解决方案．说到底还是对概念的理解陷入僵化，仅从形式上加以记忆，而不是实质性地把握了概念．

　　例3、求等差数列：200,199+2/3, …,-100的后200项的和。

　　这是一道基础题，却能“考倒”一批学生．

　　正确的想法是：

　　从前往后看，200,199+2/3, …,-100，是首项为200，公差为-1/3的等差数列，要求的是“后200项的和”；

　　从后往前看，-100,-100+1/3, …,200，是首项为-100，公差为1/3的等差数列，要求的是“前200项的和”；

 　　因此，T(200)=-40100/3.

　　如果坚持从前算到后，那就比较麻烦了．

　　“有穷等差数列，倒着读过来，也是等差数列”．把握了等差数列这一概念的实质，自然会有这一认识，

　　一题多解，夯实基础。

　　一题多解不是追求技巧，不是小题大做，而是通过多角度地审视题目，挖掘题目的内在规律，从而得到不同的解法，既巩固了数学概念，复习了数学知识，又夯实了基础，同时还进行了发散思维．

　　如下例子，通过一题多解，会加深对平均值不等式的理解，促进思维的灵活性．

　　例4、已知x+y=1，求x^2+y^2的最小值。

　　(以下有五种解法，这里从略.)

　　总之，数学概念是数学内容中最基本的内容，也是最重要的内容．我们在教学中应给予足够的重视．学好概念，夯实基础，只有这样，我们才能从根本上提高数学素养．