从教学角度，数学概念应该怎样分类

大罕

    【问题】最近一个困惑的问题求教各位：最近读书，发现数学概念分类的方法很多，有人把数学概念分成白描、归纳、演绎三类，有人分成属性下的概念，规则下的概念、结点下的概念，有些简单的概念在教学中作介绍即可，有些概念需要让学生经历过程，通过同化和形成方式。那么，从教学的角度，数学概念应该怎样分类？求教大神。

    【大罕回复】

      任何一种分类，其目的是让大家更清楚、更明白。如果一分类就把人家分糊涂了，适得其反就不如不分类。

要做到这一点，首先要科学，不能随心所欲。例如把概念分成白描、归纳、演绎三类。这个分类就是随心所欲的、不科学的。众所周知，归纳(从特殊到一般)和演译(从一般到特殊)就是一种完全的分类方式，从中插入一个“白描”，不但让人莫名其妙，而且具有破坏性，是一种无知的、粗暴的分类方法。

      其次，概念的分类要面向大众、要通俗易懂，不要怪诞生僻。比如，把概念分为属性下的概念、规则下的概念和结点下的概念，这样的分类就是怪诞生僻，相当地小众化。何谓属性下？什么规则下？哪个结点下？可谓你知我不知，大家更不知。鲁迅曾引用古语说过：人生糊涂识字始。如此这般，真是：学子糊涂分类始。

      第三，概念的分类要服从于需要。如果是纯理论上的研究需要，概念的分类要更哲学化、理想化。如果是教学角度看，概念的分类要有利于教学，便于学生掌握。

      要理解数学概念的分类，还必须了解数学概念的定义方法。

      第一种定义方法是属加种差定义法。这是中学数学最常用的方法。其基本构成是：邻近的属+种差=被定义概念。例如，对于平行四边形这个概念来说，它邻近的属是四边形，它的种差(即区别于其它四边形的概念的属性)是“一组对边平行并且相等”，因此我们定义：一组对边平行且相等的四边形叫平行四边形。

      第二种定义方法是提示外延的定义方法。数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。例如，整数和分数统称为有理数。这是把有理数的外延一一列举出来，作为有理数概念的定义。又如a0=1(a≠0)，0!=1，就是用约定式方法来定义概念。

      一般来说，数学概念来源于两方面：一是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象；二是在已有数学理论上的逻辑建构。

      相应地，我们常把数学概念分为两类：

      一类是直接抽象而成的概念，例如三角形、四边形、角、平行、相似形、向量等，这些概念是对现实对象或关系直接抽象而成的，生活中往往有客观事物与之对照，让我们产生联想，从而让我们学习起来十分亲切；

      另一类是数学对象抽象而成的概念，例如函数、方程、不等式等，这些概念是对数学中的“真实对象”的抽象，虽然生活中并没有与之对应的客观事物，但由于我们经常与这些概念打交道，耳熟能详，从而让我们学习起来同样十分亲切。

      数学概念的分类，作为思维的地图，能帮助我们理解数学内容的体系，正确地理解题意，提高我们的理解能力、分析和解决数学问题的能力。

     同时，数学概念的分类并非轻松的工作，其实它是一项复杂的工程。概念的生成千差万别，概念的类型林林总总，需要哲学观念和逻辑学的指导下进行。而这些，不是我们从事中学教学的人们所要做、所能做的工作。