聊斋IMO一则（随笔） 

大罕      

     本人对数学竞赛钻研很少，对IMO这样的高水平的数学竞赛更是望而生畏。因此也许没资格说三道四。这一回第58届IMO数学竞赛在巴西举行，中国队荣获第二名。在群友的带动下，把第一题看了看，确实与同大家所说，这题很简单，甚至显得很无聊。本来很简单的事情但是要在数学上说出个子丑寅卯来，还真不容易。说起不容易，实际上是绕着圈子说一个简单的事实。

      题目：对每个整数a₀>1，定义数列a₀,a₁,a₂…如下：对于任意的n≥0，若√(a_n)是一个整数，则a_n+1 =√(a_n)；若其它情况，则a_n+1=a_n+3，试求满足下述条件的所有a₀：存在一个数A，使得对无穷多个n，有a_n=A.
      此题的意思是：
      一个递推数列，首项是大于1的整数，递推规则是：若此数开平方开得尽，则后一项就是前一项的算术平方根；若此数开不尽，则后一项是前一项加3. 请你求出数列的首项，使得总存在一个实数在这个数列里无穷多次出现.
      如果观察能力强，那么我们很快就注意到加3这个条件上面.设 a₀=3, 则a₁=6, a₂=9, a₃=3, a₄=6, a₅=9, …，说明3满足。
      慢，3的倍数比如6，行不行？a₀=6, 则a₁=9, a₂=3, a₃=6, a₄=9, a₅=3, …，也可以。大胆猜测a₀是3的倍数. 这题基本上就出来了. 
      剩下的工作就是表达“为什么不是3的倍数就不行”. 我看有的解答，讨论得云里雾里、歪七扭八、高深无比，不亦乐乎，难道这就是数学吗？
      是的，这也是数学。记得我在大学时，有一位当年还是讲师的周显老师讲：“有时，表达也是数学”。如今看来这句话当然是对的，但不是数学的全部，更不是数学的华彩乐章。
       2017-7-22