一道含三个参数的解析几何最值问题

大罕

【题目】过定点M₀(m,0)(m>2)的直线l交抛物线y^2=4x于A,B两点，已知该抛物线上存在不同的两点C,D关于直线l对称，问弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的m值；若不存在，请说明理由.

【解答】设l：y=k(x-m)，

     CD：y=-(1/k)x+b,

    把x=y^2/4代入y=(1/k)x+b，整理得

       y^2-4ky-4kb=0，

    则y1+y2=4k,且△=16k(k+b)>0,

    设CD的中点N(x0,y0),

    则y0＝-2k,代入到y=-(1/k)x+b中,得x0＝2k^2+kb,

    即N(2k^2+kb, -2k),

     ∵ 点N在直线l：y=k(x-m)上，

     ∴ -2k=k(2k^2+kb-m),

     ∴ k(k+b)=-k^2+m-2,  (※)

于是|CD|=4√k(k+b) ·√(k^2+1)= √[-(k^2+1) (k^2-m+2)],

     令t=-(k^2+1) (k^2-m+2)=-k^4+(m-3)k^2+m-2,

    则当k^2=(m-3)/2，即2

    由于2，所以当m=3时,(m-1)^2/4的最大值为1.即|CD|的最大值为1.

【讲评】

     本题是一道难题。难在三个参数k,b,m如何恰当运用，且计算无疑是较为繁琐的，稍一不慎，就无果而归。

     L是CD的垂直平分线，利用垂直可设两条直线的斜率为k,-1/k，联立方程组可得交点即CD的中点N的坐标；

     N点坐标含有k和b但无m，而m的取值范围是目标，所以必须把m有效地“拉入”进来；

     同时，欲求| CD |最大值，看来要用弦长公式，其中必涉及N点坐标，而N点坐标里既有k又有b，所以必须舍弃一个只留一个，再把m引入；

     基于上述考虑，应该找一个关于三个参数k,b,m的关系式，而这个任务由“点N在直线l上”来完成，于是得到(※)；

     至此，| CD |的表达式为关于k的含有参数m的二次函数，何值取得最大值以及最大值是什么就唾手可得了。

解数学难题如同登一座陡峭山峰。找到一条可抵达山顶的路，奋力攀登，才能成功。

                   2016-6-20