2016年上海高考理科第14题评析

大罕

   【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A₁,A₂,…,A₈的中心，A(1,0)，任取不同的两点A_i,A_j，点P满足向量OP+OA_i+ OA_j =0，则点P落在第一象限的概率是(   ).(填空)

   【详解】从8个点中任取2个点A_i, A_j，有C(8,2)=28种选法，∴n=28；

要使得点P落在第一象限，也就是使得向量OA_i+ OA_j落在第三象限，那么i, j只能是4,5,6,7,8，有且只有如下5种情况符合要求：(A₄,A₇),( A₅,A₆),( A₅,A₇),( A₅,A₈),( A₆,A₇)，

    ∴m=5.

    因此点P落在第一象限的概率是5/28.

   【评析】几何概型是古典概率的常见问题。考试时常常采用不同的“情景”来迷惑学生。许多题目一旦识破了它的实质，就能迎刃而解。本题其实就是要在8个点中取两个点，所得的向量的和落在第三象限。

    古典概率公式P=m / n中，分母m指基本事件的个数，往往用排列数或组合数可以给出；分子m指满足条件的基本事件的个数，则除用排列或组合数表示外，还常用“穷举法”给出。而这往往是解题的难点。