关于2015年上海《大同杯》数学竞赛第9题的“优解”_大罕

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关于2015年上海《大同杯》数学竞赛第9题的“优解”

(2015-12-28 08:50:44)

分类：奥数

关于2015年上海《大同杯》数学竞赛第9题的“优解”

大罕

【题目】如图，在△ABC中，BC=a，CA=b，∠ACB=60°，△ABD是正三角形，P是其中心，求CP的长度.

【评论】《初中数学微课程》给出了一个“优解”，即用“托勒米定理”加以计算. 笔者以为这个解法虽然是可取的，但不能算作优解，因为“托勒米定理”不属于初中数学教材的范畴。

徐志华老师给出了解法应该算是优解，而且可能是最优解：仅用构造全等三角形，轻松地解决了问题。

【另解】笔者也给了一个构造全等三角形的方法。此法也有它的特色，教学中采用可拓广学生的思路。

过P点作CB、CA的垂线段PE、PF，则△PBE≌△PAF，

令BE=AF=m，由CE=a-m，CF=b+m，且CE=CF，得m=(a-b)/2，从而CE=(a+b)/2，

再由△PCE≌△PCF和∠ACB=60°，知∠PCE=30°，

∴在Rt△PCE中，CP=CE/cos30°，于是得CP=(√3/3)(a+b).

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