@史嘉
问题：“角度制也没遇到什么矛盾，为什么又定义弧度制？如何给学生解释？”

 
 回答：高中以前，角度制用下来还算顺畅，也没遇到什么矛盾。可是进入高中，在学习三角函数时，必须要引入弧度制。

   为什么要引入？

 
 第一，使用弧度制可以简化许多公式。例如扇形弧长用角度制表示是：l=nπR/180，用弧度制则是l=θR；扇形面积用角度制是S=nπR^2/360，用弧度制则是S=(1/2)lR。弧度制显然简便许多。这样的例子，在高等数学里面更多。换句话说，不是因为角度制遇到矛盾了，而是因为它显得“麻烦”了。

 
 第二，使用弧度制便于作三角函数的图像。直角坐标系里，横、纵坐标轴上的点都代表实数，虽然角度制也能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，但是需要进行六十进制换算，例如15°30ˊ，必须换算成15.5°，而用弧度制则是(15.5/180)π=0.2704(弧度)。而且用弧度制画出来的三角函数的图像更美观一些。

 
 第三，使用弧度制后，三角函数派生出来的概念更容易表示。例如反正弦函数，它的定义是“函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的反函数称为反正弦函数”，原函数的自变量x用的弧度制，反函数的函数值自然是弧度制了。

 
 曾经有一位甘肃的老师写信问我：“请问arcsin0.3是角度制还是弧度制？”我回答说：当然是弧度制！诸如180° arcsin0.3的写法肯定是不规范的，应该写为π
arcsin0.3。

 
 有了以上理由，我们可以理直气壮地告诉学生，使用弧度制是因为弧度制给我们带来方便。而且，可以想见，如果没有弧度制，数学里就会出现繁不胜言的尴尬的局面。