2015年上海高考压轴23题评析

大罕

   2015年上海高考试题.据说，许多重点中学的尖子生一是做不完，二是对压轴题（第22、23题）连题意都看不懂.以下是
   第23题：对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T，使得cosg(x)是以T为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期. 已知f(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R. 设f(x)单调递增，f(0)=0，f(T)=4π，
   ⑴验证h(x)=x+sin(x/3)是以6π为周期的余弦周期函数；
   ⑵设a
   ⑶证明“u0为方程cosf(x)=1在[0, T]上有解””的充分必要条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在[T, 2T]上有解”，并证明对任意x∈[0, T]，都有f(x+T)= f(x)+ f(T).
  
   讲评：余弦周期函数，对学生而言是一个崭新的函数.要在考场上快速理解并运用它，需要有相当的功底.
  
   关于第⑴题. 题目提供了具体实例，验证h(x)=x+sin(x/3)是余弦周期函数.这个不难做到.
   所谓余弦周期函数是指：函数g(x)的余弦cosg(x)具有周期性.当g(x)=x时，cosg(x)=cosx是一般的余弦函数，实际上，函数cosh(x)=cos[x+sin(x/3))的图像如图1所示.
  

   关于第⑵题.
   那么，对于任意 c∈[f(a), f(b)]，存在x0∈[a, b]，使得f(x0)=c的意思是：在区间[f(a), f(b)]内部的一个实数c，它对应的自变量x0必在区间[a, b]的内部.
   欲证f(x0)=c，而f(x0)=c等价于 f(x0)-c=0，故只需证方程φ(x)=f(x)-c=0必有零点x0.
   设φ(x)=f(x)–c，
   ∵f(x)在R上单调递增，∴当x∈[a, b]时，有f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)，于是有
   φ(a )≤φ(x)≤φ(b )，
   对于任意c∈[f(a), f(b)]，即f(a) ≤c ≤ f(b)，必有φ(a ) ≤0，且φ(b )≥0，
     ①若φ(a )=0或φ(b )=0，则x0=a或x0=b，使得φ(x0)＝0；
     ②若φ(a )<0<φ(b )，则φ(a)φ(b )<0，因而存在x0∈(a,b)，使得f(x0)=c.
   笔者要指出的是：余弦周期函数f(x)不一定是周期函数. 例如f(x)=x+sin(x/3)是余弦周期函数却不是周期函数，它是一个递增的无界的函数，其图像如图2所示.
 
   关于第⑶题. 除抽象造成的迷惑性外，还表现不断转换对象。在第⑵题研究f(x)的单调性之后，第⑶题却回到对cosf(x)的研究.
   由于函数cosf(x)的周期为T，即有cosf(x+T)＝cosf(x)，那么本题的充要性不难完成.
   必要性：若u0∈[0, T]，且cosf(x0)=1，所以cosf(u0+T)= cos f (x0) =1，所以u0+T∈[T, 2T]是cosf(x)=1在[T, 2T]上的解；
   充分性：若u0∈[T, 2T]，且cosf(u0+T)=1，则cos f (x0) =cosf(u0+T) =1，所以u0∈[0, T]是cos f (x)＝1在[0, T]上的解.
   注意，还有一个很硬的尾巴在最后：对于任意x∈[0, T]，都有cosf(x+T)= f(x)+ f(T)成立. 这个证明亦有难度.
   由于函数f(x)是余弦周期函数，周期为T，因此cosf(x+T)=cos f(x)，
   即cosf(x+T) -cos f(x) =0，由和差化积公式，得：
   -2{sin[f(x+T)+ f(x)]/2}{ sin[f(x+T)- f(x)]/2}=0，
   ∴sin[f(x+T)+ f(x)]/2=0，或sin[f(x+T)- f(x)]/2=0，
   ∴f(x+T)+ f(x)=2kπ，或f(x+T)- f(x)=2kπ，k∈Z.
     ①当f(x+T)+ f(x)=2kπ时(k∈Z)，由f(0)=0，f(T)=4π，可得k=2,
   ∴f(x+T)+ f(x)=4π，这与函数f(x)为增函数矛盾，舍去；
     ②当f(x+T)- f(x)=2kπ时(k∈Z)，由f(0)=0，f(T)=4π，可得k=2,∴f(x+T)- f(x)=4π，即f(x+T)= f(x)+ f(T)，故得证.
 
   评论：2015年上海高考第23题(压轴题)，到底是咋回事儿?
   以下笔者用通俗的白话，不用一个数学符号，说明如下：
   一个函数，它本身是个递增的无界的函数，但是其余弦是周期函数，那么这个函数叫做“余弦周期函数”.
   第一问，给你一个具体函数，请你验证它是周期为6π的余弦周期函数.
   第二问，对于余弦周期函数，若任给一个函数值的区间，则在对应的自变量的区间内一定存在一个数，这个数的函数值在给定的函数值区间内，请你证明它。
   第三问，对一个余弦周期函数，给定它的余弦函数的最小正周期，请证明某个周期内，一方程有解等价于该方程在相邻周期内有解，並运用余弦周期函数周期性性质证明这个等式。
                 2015-11-5修改