一个有趣的尺规作图问题的可解性

大罕

    众所周知，只用直尺（无刻度）、圆规画出满足要求的几何图形，叫做尺规作图。
    早在2400年前，古希腊人提出了“三大难题” ：三等分角（将任一个给定的角三等分）、立方倍积（求作一个正方体的棱长，使其体积是已知正方体体积的二倍）、化圆为方（求作一个正方形，使其面积和已知圆的面积相等）。直到公元1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”用尺规作图是不可能的；1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明用尺规作图也是不可的。
    任何能用尺规完成的作图，无论它多么复杂，都不外乎归结为三条公法的有限次的有序结合。也就是说，一个几何量能否用直尺圆规作出，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。
    笔者最近在网上看到一个有趣的问题：“平面内任给一条直线和在直线同一侧的两个点，求作一个圆过这两点且与这直线相切。”
    据说，这道题考倒了一些大学生甚至教授。有人还说是个无解的问题。
    首先指出，平面内的这条直线与这两点所在直线是不能垂直的。否则显然无解。下面证明当这条直线与这两点所在直线不垂直时，尺规作图是可解的。
    问题：已知直线l的同侧有两点A、B（AB不垂直于l），求作圆O过A、B两点，且切圆O于点F.
    证明：设圆O过A、B两点、且与直线l切于点F，
    (1)当直线AB与l平行时，设线段AB的中垂线交AB于点D，直线OD与l交于点C，易知点C与点F重合，同时直线OD与圆O交于另一点G，连接OB，如图1，
    设DB=e ，DF＝c，OF＝x，
    由相交弦定理，有DB^2=DF×DG，又注意到OG=OF=OB，
     e^2= c[x+√(x^2-e^2)]，
    解得x=(c^2+e^2)/2c .
    因此x可对e、d、c经过有限次的加、乘、除求得.
    (2)当直线AB与l不平行时，设直线AB与l相交于点E，线段AB的中垂线与AB交于点D，直线OD与l交于点C，连接OB、OF，如图2，
    又设DB=e ，CD＝c，DE＝d， OC＝x，其中e、d、c为定值，x为待定值。
    显然△EDC∽△OFC，所以
     DE/FO= CE/CO，注意到FO=OB，
    所以DE/OB= CE/CO，
     d /√[(x-c)^2+e^2]= √(c^2+d^2)/x，
    整理，得方程
     (c^2)x^2-2c(c^2+d^2)x+(c^2+d^2)(e^2+c^2)＝0,
    其判别式
     Δ＝4c^2(c^2+d^2)( d^2-e^2)>0,
    此方程有解，因此x可对e、d、c经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得，于是这个尺规作图是可解的。