从一个数表问题谈学生对数学规律的探索

大罕（王方汉） 

数学是一门研究数与形的规律的科学。学习数学的过程就是不断探索问题的过程。  
 
       在这一过程中，一方面我们学习了新的数学知识，另一方面培养了我们的逻辑推理能力和运算能力。而逻辑推理能力和运算能力，在各个行业都是大有用途的。

      所以，我们应该形成乐于探索数学规律的良好习惯。主动地、不懈地探索数学规律，久而久之，我们的数学能力就会在潜移默化中得以提高。

    
  下面的问题来自于高考题。面对这一貌似吓人的问题，我们要静下心来，慢慢寻找其中的规律，找出解决问题的门道。

问题：如图所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2,3)，(4,65)，(8,12,10,7)，
(16,24,20,14,9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，则第7群的第2项是        
；第n群中n个数的和是       .

解答：如下图，由分群法则可知，下列数表中，第一行由奇数1,3,5,7,9,11,13,…组成，每一列均为公比为2的等比数列.

图中斜线所示的数分别组成第1群，第2群，第3群，第4群，….

那么，第7群的第1项为2⁶=64，第2项为3×2⁵=96；

一般地，第n群的

第1项为2^n-1，第2项为3×2
^n-2，第3项为5×2
^n-3，…，第n项为(2n-1)×2
⁰，

记第n群中n个数的和为P，则

P=2^n-1 3×2
^n-2 5×2
^n-3 … (2n-1)×2
⁰  
    ①

∴2P=2ⁿ 3×2
^n-1 5×2
^n-2 … (2n-1)×2
¹  
     ②

②-①得：

P=2ⁿ 2×2
^n-1 2×2
^n-2 … 2×2
¹-(2n-1)

=2ⁿ 2
ⁿ 2
^n-1 2
^n-2 …
2²-(2n-1)

=2ⁿ (2
ⁿ 2
^n-1 2
^n-2 …
2² 2¹ 2⁰)-3-(2n-1)

=2ⁿ (2^{n 1}-1)-3-(2n-1)

=3×2ⁿ-(2n 3)

简评：

 
    从以下探索我们可以看出，对于第（1）问，数值较小，我们完全可以通过穷举法来解决它。同时也为解决一般情形作了铺垫。对于第（2）问题，一般情形的探索，就要发现题目所隐含的数学规律了。

    
 关键是找出数列的第1项，接着找第2项，第3项，...，第n项。找到了第n项就找到解题的钥匙了。剩下的问题就是如何求数列前n项的和了。我们采用的方法是“错位相减求和法”，详见过程。

    
 一般来说，有这样一类数列，它由一个等差数列与等比数列相乘而得到，即：