2013年上海高考题（理科）第14题讲评

大罕

   【题目】14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，且f^-1([0,1))=[1,2)，f^-1((2,4])=[0,1)，若方程f(x)-x=0有解x₀，则x₀=       .

   【解答】由已知g（I）={y|y=g（x），x∈I}，且f^-1([0,1))=[1,2)，f^-1((2,4])=[0,1)，根据反函数定义知：
    对于函数f（x），
    当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，此时方程f（x）-x=0 即f（x）=x无解；
    当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），此时方程f（x）-x=0即f（x）=x也无解；
    也就是说当x∈[0，2）时方程f（x）-x=0即f（x）=x是无解的，
    但已知方程f（x）-x=0有解x₀，且定义域为[0，3]，
    所以当x∈[2，3]时，f（x）的值域应包含于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
    故若f（x₀）=x₀，只有x₀=2．

   【点评】又是一道“创新题”！不过，这个创新是打了引号了的.定义g(x)，是为了引进一个仅在本题使用的符号——f（I)，其中的I是一个区间.不过，这一设计确实给一些学生制造了障碍！
    数学试题常用这样一种办法考察学生：本来可以直接给出的条件或结论，试题设计者故意绕道而行，绕过含有其它知识点或能力点的圈子，才能达到目标.这叫“绕道法”.
    我们知道，有反函数的函数，其对应关系是一一对应的；原函数与反函数的定义域和值域是互为交换的.因此与f^-1([0,1))=[1,2)，f^-1((2,4])=[0,1)相应的就有：f([1,2))=[0,1)，f[(0,1))=(2,4].本题就是绕了这么一个圈子！于是，本题的条件完全可以这样直白地叙述：对于定义在[0,3]的分段函数y=f(x)，当x∈[0，1）时，y∈（2，4]；当x∈[1，2）时，y∈[0，1）.
    剩下的问题就比较清楚了.既然函数y=f(x)的定义域是[0,3]，现在已给出了x∈[0，1）和x∈[1，2）时函数值所在的范围，那么x∈[0，3]时函数值应该在什么范围？C_R((2,4]∪[0,1))=(-∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞)，而这个范围内符合条件的只有唯一的x₀=2．