2013年上海高考题（理科）第23题（压轴题）讲评

大罕

  23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
   给定常数c>0，定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|．数列a₁,a₂,a₃,…满足a_n+1=f(a_n),n∈N^*．
   （1）若a₁=-c-2，求a₂及a₃；
   （2）求证：对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
   （3）是否存在a₁，使得a₁,a₂,a₃,…,a_n,…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．

   解答：
   （1）因为c>0，a₁= -(c+2)，故a₂=f(a₁)= 2|a₁+c+4|-|a₁+c|=2 ；
    a₃=f(a₂)= 2|a₂+c+4|-|a₂+c|=2|2+c+4|-|2+c|=c+10；
   （2）a_n+1-a_n≥c <=> f(a_n)≥a_n+c,<=>2|x+c+4|≥|x+c|+x+c， 
    令a_n=x,只需证明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c 对任意x∈R都成立；
    若x+c≤0，显然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c成立；
    若x+c>0，则2|x+c+4|≥|x+c|+x+c <=> |x+c+4|>x+c ，也显然成立.
    综上，f(x)≥x+c恒成立.所以对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c成立；
   （3）由（2）知，若{a_n}为等差数列，设公差为常数d，则d=a_n+1-a_n≥c>0，故总有a_n>0,
    此时，a_n+1-a_n=f(a_n)-a_n=2(a_n+c+4)-(a_n+c)-a_n=c+8,即d=c+8,
    故a₂=f(a₁)=2|a₁+c+4|-|a+c|= a₁+c+8，
    即2|a₁+c+4|=|a₁+c|+a₁+c+8，
    当a₁+c≥0时，等式成立，且n≥2时，a_n>0，此时{a_n}为等差数列，符合题意，所以a₁≥-c；
    若a₁+c<0，则|a₁+c+4|=4  => a₁=-c-8，此时，a₂=0, a₃=c+8,…, a_n=(n-2)(c+8)也符合题意；
    所以a₁的取值范围是[-c,+∞)∪{-c-8}.

   评论：
    又是一个绝对值问题！我在第22题的评论中提到，绝对值问题相当的棘手.一份试卷，竟用两道绝对值压轴，是否有重复之嫌？
    第1小题较为简单，顺路走直抵目标；
    第2小题完成它胆子要大.否则被它抽象的面目吓坏了.实际上，a_n+1-a_n≥c <=> 2|x+c+4|≥|x+c|+x+c，剩下只需对右边绝对值内的x+c进行符号讨论即可.并不是很难.
    第3小题，先求出等差数列的公差，再利用a₂与a₁的等量关系：2|a₁+c+4|=|a₁+c|+a₁+c+8，对绝对值符号内的式子加以讨论，从而求出a₁的取值范围.
   从第2，3小题看出，打开绝对值需对内部进行讨论，是本题的关键，也是难点.对于一般学生来讲，会有这样的气魄么？
   纵观全题，为考查一个等差数列的性质，编造了含绝对值的递推式，再围绕着打开绝对值符号加以讨论. 这样的设计似乎牵强附会、累赘，且缺少亮点.