平面图形的对折问题

大罕

    将平面图形按某条件对折，计算对折前后的有关量，这就是所谓的平面图形对折问题。这一问题是学生进入初中后的第一个重大的难点问题。

    对折问题的背景是点的轴对称及图形的轴对称。在对折前后，有哪些量未变？有哪些量变了？这些是解决问题的关键，也是开门的钥匙。

    必须让学生知道如下结论（命题）：

    命题1：若两点关于直线成轴对称，则对称轴是连接两点线段的垂直平分线.

    命题2：将平面图形对折使A,C两点重合，则折痕BD是线段AC的垂直平分线.

   
    以下我们对几个例子作简要的分析：

    例1． 若点O是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，EF⊥BD于O，交AB,DC于E,F，那么线段BE关于直线EF的对称线段是          ．

    例2． 如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于         ．

    分析：因为EF是对称轴，所以四边形ABFE≌四边形A₁B₁FE，所以∠EFB=∠EFC，而∠1=50°，所以∠EFB=65°，所以∠AEF＝115°.

    例3 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=4 style="FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times new roman'; mso-hansi-font-family: 'Times new roman'">，折叠后，点C落在AD边上的点C落在AD边上的C₁处，并且点B落在EC₁边上的B₁处．求BC的长.

      分析：在矩形ABCD中，由∠BAE=30°， 易知AE=DC₁ =EC=x，而BE＝(1/2)x，所以BC＝(3/2)x，

      在△ABE中，AB=4，x²＝(1/4)x²+16，解得x=8/√3，

       ∴ BC＝(3/2)x＝4√3.

例4 把如图左的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图右）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，求矩形纸片ABCD的面积．

     分析：参看如下图，它显示了折叠前后纸片的情形。

   ∵GN,EM分别是折痕，

   ∴GN,EM分别是线段PC₁,PB₁的中垂线，

   ∴△PNG≌△C₁NG，且△PNG≌△C₁NG，

   又∵GN,EM 分别是对称轴，

  ∴△PDG≌△C₁D ₁G，且△PEA≌△B₁EA₁，

   由已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，易知MN=5,NC₁=4,MB₁=3,于是B₁C₁=12，

   现设GD₁=x，EA₁=y，可得如下方程组：

       x+y=5,

           16-x²=9-y²,

      解之得：x=16/5，

          ∴ A₁B₁=12/5，

          ∴矩形ABCD的面积为144/5.

      例5  将图中的三角形ABC纸片沿DE折叠，D点在AB边上，E点在AC边上，图中由粗实线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3，已知图中三个阴影的三角形面积之和为1，试确定重叠部分的面积.

分析：∵△DEF是将△ADE以DE为折痕折叠而得到的，

∴△DEF≌△ADE.

设原三角形面积为3x，由粗实线围成的图形面积为2x，

注意到图中空白部分（四边形DEHG）是重叠的，

∴S_重叠＝3x-2x=x，

又∵三个阴影的三角形面积之和为1，

∴粗实线围成的图形面积－重叠部分面积＝三个阴影的三角形面积之和，

即2x-x=1,

∴x=1，

∴重叠部分的面积为1.

    练习题：在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,现将△ABC 折叠，使得点B与点C重合则折痕的长为         .