评析压轴题：上海市2012年高考数学理科第14题

大罕

    搞一点小刁钻、偶尔不按常规出牌，这是今年（2012年）高考数学理科试卷新呈现的一个特点。以填空压轴题第14题为例，评析如下.

    题目：如图1，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是         .
    

    解析：注意到棱AD与棱BC互相垂直且均为常数(BC=2，AD=2c)，因此我们采用如下破题的缺口：过BC作AD的垂面于AD于E（如图2）（注：当然也可以过AD作BC的垂面，但这样做相对难一点），

    则V_ABCD＝(1/3)S_△EBC×AD＝(2c/3)S_△EBC，

    于是求出△EBC的面积的最大值成为问题的关键.

    为计算△EBC，我们考查EB和EC的边长.设AB=x,AC=y,AE=z，则

       BD=2a-x,CD=2a-y,DE=2c-z,

    由EB²＝(2a-x)²-(2c-z)²=x²-z²

    和EC²＝(2a-y)²-(2c-z)²=y²-z²，

    可知x=y，即△EBC为等腰三角形，腰长为x，底边长为2.这时，当腰长x取得最大值时，△EBC的面积取得最大值.

    如图3(它是一个平面图形)，因为AB+BD=2a (常数)，所以它的轨迹是一个以A,D为焦点、长轴长为2a的椭圆，欲椭圆上的动点B到长轴的距离取得最大值，显然B点应在短轴顶点处，此时E点即为椭圆的中心O点，AB=BD=a.

    图4就是四面体ABCD取得最大值的图示.

      S_△OBC＝(1/2)BC×h_BC=√(a²-c²-1)，

    ∴四面体ABCD的体积的最大值(2c/3)√(a²-c²-1).

    评论：

    本题作为填空题的最后一题，起着压轴的作用.事实上，确实如此，难倒了众多的学生.难在何处？一般情况下，空间几何体的体积的最值问题往往是底面积固定，让其高变化，从而取得.而本题需要根据已知条件“AD与BC是互相垂直的棱”，过其中一条棱作另一条棱所在直线的垂面，得到的直截面作为计算体积的底面.显然，这并非常规出牌，大大出乎人们意料.

    其次，考虑直截面面积的最大值如何取得亦非易事.首先要证明直截面是等腰三角形，故需要一定的计算.之后，既然是等腰三角形，由条件AB+BD=2a,AC+CD=2a，联想到椭圆定义（实际上他们处于同一个椭球之中，图5），以下的路就平坦了.

    本题对空间想像能力有很高的要求.空间有两条异面线段，若涉及到求体积，则应该考虑到过其一作其二的垂面，此种思考不应视为常规，应以刁钻谓之，却不古怪。