题不在难，有巧则名；算不在繁，有径则灵

大罕

    题不在难，有巧则名；算不在繁，有径则灵。

    数学选填题，如果直接套公式或扣概念的，当属基础题；如果需要经过判断和试探才能推算的，当属小巧题。后者一般用来考查智力和能力，教学中值得特别注意，要把特别的爱给特别的她。

    以下两道题，难又不难，难在看穿题目的精髓，

    1.已知直线ax+by-1=0 (a,b不全为0)与圆x²+y²=50有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有        条.     

    分析：此题首先要弄清要求，是直线经过圆上的整点（横、纵坐标均为整数的点），而非圆内的整点。其次要弄清圆上的整点有多少个。再次要注意有公共点指两种情况，即直线与圆相交和相切。最后要剔除不合题意的直线。

    解：∵在圆x²+y²=50上横坐标,纵坐标都是整数上的点共有12个：

     (1,7),(1,-7),(-1,7),(-1,-7),(7,1),(7,-1),(-7,1),(-7,-1),(5,5),(5,-5),(-5,5),(-5,-5).
    ⑴ 从12个点中任取2个点可作66 条直线，注意到直线ax+by－1=0(a,b不全为零)不经过原点，而上述66条直线中有6条是经过原点的，所以只有60条直线符合题意；

    ⑵ 过12个点中的每个点都可作圆x²+y²=50的切线，所以有6条也符合题意.
    综上符合题意的直线共有72条.

    2.双曲线x²-y²=1左、右顶点分别为A₁、A₂，P为其右支上一点，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂等于(    ).

       A．  无法确定           B．π/36            C．π/18           D．π/12

    分析：此题初看有点怪，双曲线两顶点与曲线上一点构成三角形，且一内角是另一内角的4倍。见怪不怪，其怪自败。怪中应该蕴含某种蹊跷！不妨放开胆子，算它一算：看看∠A₂PQ的大小！

    解：依题意，A₁(-1,0),A₂(1,0)，

    设P（x₁,y₁），过P作PQ⊥x轴于Q，

     ∴|PQ|=y₁=√(x₁²-1), |A₁Q|=x₁+1 ,|A₂Q|=x₁-1，

     ∴tan∠PA₁A₂=PQ/A₁Q=√(x₁²-1)/(x₁+1)= √[(x₁-1)/(x₁+1)]>&

       tan∠A₂PQ=A₂Q/PQ=(x₁-1)/[√(x₁²-1)] = √[(x₁-1)/(x₁+1)]  

     ∴∠PA₁A₂=∠A₂PQ .

    设∠PA₁A₂=∠A₂PQ =θ，则∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂＝4θ，

    在Rt△PA₂Q中， ∠PA₁Q+∠A₁PA₂+∠A₂PQ =6θ=π/2,

   ∴∠PA₁A₂＝π/12，选D.

   注：对于双曲线x²-y²=a(a>0)均有此结论，但无疑增加了迷惑性！

   山不在高，有仙则名；水不在深，有龙则灵。

   题不在难，有巧则名；算不在繁，有径则灵。