求范围的解析几何题一例

大罕

    以数驭形是解析几何的特点. 图形是有范围的，与之相关的量也就有范围. 可是，如何确定范围，往往很棘手！

    一般说来，要善于捕捉图形中的信息，从蛛丝马迹中找到突破口。请看下面的例子：

    在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=3/2， BC=1/2，椭圆以A、B为焦点且经过点D．

    ⑴建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

    ⑵若点E使得向量EC=(1/2)AB，问是否存在直线l与椭圆交于M,N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出直线 l与AB夹角θ的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．

    分析： 在⑵中，所求直线l的方程有双参数k,m，无疑给我们心理上造成压力. 只有顶住压力，奋力向前，才能到达胜利的彼岸. 直线l与椭圆交于M,N两点，这是第一个条件.直线与椭圆有两个交点，相应的一元二次方程的判别式大于0，这是求范围的绝好的工具.而|ME|=|NE|，这是第二个条件,为我们提供了双参数的等量关系. 如何用好这两个条件成为本题成功解出的关键.   

    解：⑴如图，以直线AB为x轴，线段AB的中点O为原点，建立直角坐标系，

      设椭圆方程为b²x²+a²y²=a²b²,

      由OB=1知c=1,

      由AD=3/2知b²/a=3/2，

      由此解得a²=4,b²=3,

      因此椭圆方程为

       3x²+4y²=12.

    ⑵由向量EC=(1/2)AB知，E(0,1/2),

     当l⊥AB时显然不符题意.于是设l：y=kx+m（k≠0），

     代入到椭圆方程3x²+4y²=12中，得

     (3+4k²)x²+8kmx+(4m²-12)=0,

     因为M、N存在（注：这是运用第一个条件），

     所以△＝64k²m²-4(3+4k²)(4m²-12)>0，

     解得4k²+3>m²．              ①

     设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点F（x₀，y₀）

     则x₀=(x₁+x₂)/2=-4km/(3+4k²),

       y₀=kx₀+m=3m/(3+4k²),

     由|ME|=|NE|知，EF⊥MN, （这是在运用第二个条件）

     所以 (y₀-1/2)/x₀=-1/k，

    即  [3m/(3+4k²)-1/2]/[-4km/(3+4k²]＝－1/k,

     解得 m=-(3+4k²)/2，          ②

    ②代入①得  4k²+3>[]-(3+4k²)/2]² ，

    解得 4k²+3<4,

    ∴  k²<1/4，   

    ∴ -1/2<k<1/2，且k≠0.

    又当k=0时显然符合题意，

    因此所求范围为-1/2<k<1/2.